第七讲连续型随机变量 重点:连续型随机变量概率密度函数的性质、正态分布的性质及计算。 难点:连续型随机变量概率密度函数的性质 连续型随机变量的基本概念 离散型随机变量并不能描述所有的随机试验,对于可在某一区间内任意取值的随机变量X,由 于它的值不是集中在有限个或可列个点上,因此只有知道其取值于任一区间上的概率P{a<X≤b} (其中,α<b为任意实数),才能掌握它取值的概率分布情况。对于这种取值非离散型的随机变量, 其中有一类很重要也很常见的类型,就是所谓的连续型随机变量。 定义1设随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负函数fx),使得对任意实数x有 F(x)=f(0=P{x≤x 则称X为连续型随机变量,称∫x)为X的分布密度或概率密度或密度函数。 注易知连续型随机变量的分布函数是连续函数。 f(x)有如下性质 1)fx)≥0(非负性) 2)(x)k=1(规一性) 反之,可以证明,定义在R上的任一函数,若满足上面两个条件,则它一定是某个连续型随 机变量的概率密度。 3)Pa<X≤6=F(b)-F(a)=f(x);一般地,若LcR,则PX∈L=J(x 4)若fx)在点x连续,则有F(x)=fx) 5)X为连续型随机变量,则P{X=a}=0.由此可知若A是不可能事件,则P{A}=0,反之,若 P{A}=0,A不一定是不可能事件;同理,若A是必然事件,则P{A}=1,反之,若P{A}=1,A不 定是必然事件。 注性质1)表明fx)位于x轴上方;2)说明密度函数与横轴之间的面积等于1;3)说明事件{a<X第七讲 连续型随机变量 重点：连续型随机变量概率密度函数的性质、正态分布的性质及计算。 难点：连续型随机变量概率密度函数的性质。 一、连续型随机变量的基本概念 离散型随机变量并不能描述所有的随机试验，对于可在某一区间内任意取值的随机变量 X，由 于它的值不是集中在有限个或可列个点上，因此只有知道其取值于任一区间上的概率 P{a<X≤b} （其中，a<b 为任意实数），才能掌握它取值的概率分布情况。对于这种取值非离散型的随机变量， 其中有一类很重要也很常见的类型，就是所谓的连续型随机变量。 定义 1 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，若存在非负函数 f(x)，使得对任意实数 x 有 F(x) f (t)dt P{X x} x = =  − 则称 X 为连续型随机变量，称 f(x)为 X 的分布密度或概率密度或密度函数。 注 易知连续型随机变量的分布函数是连续函数。 f(x)有如下性质： 1）f(x)≥0（非负性）； 2） ( ) =1 （规一性）；  − f x dx 反之，可以证明，定义在 R 上的任一函数，若满足上面两个条件，则它一定是某个连续型随 机变量的概率密度。 ）   = − =  ； b a 3 P{a X b} F(b) F(a) f (x)dx    = L 一般地，若L R，则P{X L} f (x)dx . 4) 若 f(x)在点 x 连续，则有 F’(x)= f(x)。 5）X 为连续型随机变量，则 P{ X=a}=0. 由此可知若 A 是不可能事件，则 P{ A}=0，反之，若 P{ A}=0，A 不一定是不可能事件；同理，若 A 是必然事件，则 P{ A}=1，反之，若 P{ A}=1，A 不 一定是必然事件。 注 性质 1）表明 f(x)位于 x 轴上方；2）说明密度函数与横轴之间的面积等于 1; 3) 说明事件{a<X