第三章极限与函数的连续性 §2数列的极限 1.用定义证明下列数列的极限为零: (5)im(√n+1-√m) 证明首先, 所以v>0,取N=[]则当n>N时,有 √n+1-vn≤ 由极限定义,这表示 提示 on 10 12 10310 9! 2.用定义证明: n k n 3,其中 Bn n=3k+1(k=1,2,…) 3k+第三章 极限与函数的连续性 §2 数列的极限 1. 用定义证明下列数列的极限为零： (5) limn→∞ ( √ n + 1 − √ n)； 证明 首先， | √ n + 1 − √ n| = (n + 1) − n √ n + 1 + √ n ≤ 1 √ n 所以∀ε > 0, 取N = [ 1 ε 2 ], 则当n > N时，有 | √ n + 1 − √ n| ≤ 1 √ n ≤ ε 由极限定义，这表示 limn→∞ ( √ n + 1 − √ n) = 0 (6) limn→∞ 10n n! ； 提示： 10n n! = 10 1 · 10 2 · · · 10 1 0 · · · 10 n ≤ 109 9! · 10 n 2．用定义证明： (4) limn→∞ xn = 3，其中xn =    3, n = 3k 3n+1 n , n = 3k + 1(k = 1, 2, · · ·) 2 + 1+n 3− √ n+n , n = 3k + 2. 1