2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 6+f(x) sin bx-Ox x→0x =lim- 6+f(x) lim(63 最后得到lim5+f(x) 注:下列作法是错误的 lim Sinx+(x)lim -x' 6x+xf(x)_16+f(x) 0 错误原因在于第一个等号后的无穷小量替换不在因子位置,属非法替换,答案亦为 错误 4.5.3洛必达法则 洛必达法则是求极限的重要方法,它是由柯西中值定理,把函数比变为其导数 比,而导出的方法 定理4.11(洛必达法则)如果 (1)limf(x)=limg(x)=0(或∞) (2)在极限点附近,∫(x),g'(x)都存在,且g(x)≠0; ()lim()存在或为无穷大,则lm(存在或为无穷大,且等于imf(x) g(x) g(x) 注()以上极限中的趋向为x→x或∞或单边趋向。 (2)请务必注意,运用洛必达法则是一种试验过程,若导数比值确有极限, 则原极限立即有答案,而当导数比值极限不存在,或虽然可能存在,却不能由已知 条件求出此极限,则洛必达法则试验失败,应另寻其它方法解决问题。 例4.35(2004-2-15)求极限 coSx 【解1】原式 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutorcom电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 3 0 2 0 sin 6 6 lim 6 ( ) lim x x x x f x x x − + + = → → ， 3 3 0 2 0 (6 ) lim 6 6 ( ) 1 lim x x x f x x→ x→ − + = 最后得到 36 6 ( ) lim 2 0 = + → x f x x 。 注：下列作法是错误的 3 0 3 0 6 ( ) lim sin 6 ( ) lim x x xf x x x xf x x x + = + → → 0 6 ( ) lim 2 0 = + = → x f x x 错误原因在于第一个等号后的无穷小量替换不在因子位置，属非法替换，答案亦为 错误。 4．5．3 洛必达法则 洛必达法则是求极限的重要方法，它是由柯西中值定理，把函数比变为其导数 比，而导出的方法。 定理 4.11 (洛必达法则) 如果 (1) lim f (x) = lim g(x) = 0 (或∞ ) (2) 在极限点附近， f ′(x), g′(x) 都存在，且 g′(x) ≠ 0 ； (3) ( ) ( ) lim g x f x ′ ′ 存在或为无穷大，则 ( ) ( ) lim g x f x 存在或为无穷大，且等于 ( ) ( ) lim g x f x ′ ′ 。 注 (1) 以上极限中的趋向为 x → x0或∞或单边 趋向。 (2) 请务必注意，运用洛必达法则是一种试验过程，若导数比值确有极限， 则原极限立即有答案，而当导数比值极限不存在，或虽然可能存在，却不能由已知 条件求出此极限，则洛必达法则试验失败，应另寻其它方法解决问题。 例 4.35（2004-2-15） 求极限 1 . 3 1 2 cos lim 3 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → x x x x 【解 1】原式 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805