36>0,x(0<x-x0k<):|f(x)-4|k1, 即 ∫(x)A|+1。 所以f(x)在x0点的某个去心领域有界。 (3)设imf(x)=A>limg(x)=B,则对于=4-B>0, 31>0.,Vx(04x-x0ka):|f(x)-AkE, 即 A+B f(x)>A 2 又 d2>0,Vx(04x-x0kO2):|8(x)-Bk 即 a+ g(xr)<B+8 取δ=min{6,62}>0,当04x-xkδ,成立局部保序性 a+B f(x) (4)假定存在p>0,使当0<x-xkp时成立 (x)≤f(x)≤h(x) 且limg(x)=limh(x)=A vE>0,由limh(x)=A, 361>0,Vx(04x-x0ka1):|h(x)-AkE, 所以 h(x)<A+ 又由lmg(x)=A 362>0,x(04x-x0k2):|g(x)-AkE, 所以 g(x)>A-a 取δ=min{,,2}>0,当04x-xk8,成立 A-E<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+E 即Iimf(x)=A 6.对多元函数证明极限的四则运算法则:假设当x趋于x时函 数f(x)和g(x)的极限存在,则 (1)limf(x)±g(x)=limf(x)±limg(x);0 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< 1， 即 | ( f x) |<| A| +1。 所以 f (x)在 x 0点的某个去心领域有界。 (3) 设 f (x)=A> g (x)=B，则对于 0 lim x→x 0 lim x→x 0 2 A B ε − = > ， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< ε ， 即 ( ) 2 A B f A ε + x > − = 。 又 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( g x) − B |< ε ， 即 ( ) 2 A B g B ε + x < + = 取δ δ = > min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < − x x |< δ ，成立局部保序性： ( ) ( ) 2 A B g f + x < < x 。 (4)假定存在ρ > 0 ，使当 0 0 | < − x x |< ρ 时成立 g f ( ) x x ≤ ( ) ≤ h(x)， 且 g (x) = h (x)=A。 0 lim x→x 0 lim x→x ∀ > ε 0 , 由 h (x)=A， 0 lim x→x 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( h x) − A |< ε ， 所以 h( ) x < A+ ε 。 又由 g (x) =A， 0 lim x→x 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( g x) − A|< ε ， 所以 g( ) x > A−ε 。 取δ ρ = > min{ ,δ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < x x − |< δ ，成立 A g − < ε ( ) x x ≤ f ( ) ≤ h( ) x < A+ ε ， 即 f (x)=A。 0 lim x→x 6． 对多元函数证明极限的四则运算法则：假设当 x 趋于 x 时函 数 f (x)和 g (x)的极限存在，则 0 （1） f (x)±g (x)) = f (x)± g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 3