(2)lim(f(x) g(x))=lim f(x); lim g(x); 3)lim (f(x)/g(x))=lim f(xr)/lim g(x)( lim g(x)=0) 证假设imf(x)=A,img(x)=B。则对任意E>0, 361>0,Vx(04x-x0ka1):|f(x)-4|kE 82>0,Vx(0<x-xok52): 1g(x)-BK 取δ=min{a,}>0,当04x-x0kd,成立 (f(x)±g(x))-(A±B)图∫(x)-A+|g(x)-Bk2E, 所以(1)成立 由于g(x)在x有极限,所以g(x)在x局部有界,即存在正数Ⅹ 和8">0 04x-x0ka):|g(x)kX。取δ=min{,6,0}>0,当 0<x-x0kδ,成立 f(x)g(x)-ABksIf(x)g(x)-Ag(x)+ Ag(x)-ABl (X+A DE 所以(2)成立。 由于B≠0,VE0<g<|,3δ">0,x(04x-xk6"): g(xlB B 取δ=min{6”,,62}>0,当04x-xk,成立 I(x)A B((x)-A)-A(g(x)-B Bg(x) 2(4|+|B| IBI 所以(3)成立。 求下列各极限: (1) (2) 1+x2+ m y (3) lim (4)lim (xy)10)y1+x2+y2-1 (5) lim n(x+e (6) lim sin(x+y (x,y)(0,0) (x,y)→+(0.0)x-+y (7) 1-cos(x+y) (xy)00(x2+y2)x2y2 (8)lim(x2+y2)e-(x+y lim (1-xy) 解(1)lin (x,y)+(0,1)x-+ (x2+y2)（2） (f (x) ·g (x)) = f (x)· g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x （3） (f (x)／g (x)) = f (x)／ g (x) （ g (x) ≠ 0）。 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 证 假设 f (x)=A， g (x)=B。则对任意 0 lim x→x 0 lim x→x ε > 0， 1 0 1 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( f x) − A|< ε ， 2 0 2 ∃ > δ 0,∀x x (0 <| − x |< δ ): | ( g x) − B |< ε ， 取δ δ = > min{ 1 2 ,δ } 0，当 0 0 | < − x x |< δ ，成立 | ( f g ( ) x x ± − ( )) (A± B) |≤| f (x) − A| + | g(x) − B |< 2ε ， 所以（1）成立。 由于 g (x)在 x 有极限，所以 g (x)在 x0局部有界，即存在正数 X 和 0 δ ' > 0 ， ∀x 0 (0 < − | x x |< δ '): | ( g x) |< X 。 取 δ δ = min{ ',δ 1 2 ,δ } > 0 ， 当 0 0 | < − x x |< δ ，成立 | f g ()( x x) − ≤ AB | | f g ()( x x) − Ag(x) | + | Ag(x) − AB | < + ( | X A|)ε ， 所以（2）成立。 由于 B≠0， 0 2 B ε ε ⎛ ⎞ ∀ < ⎜ ⎟ < ⎝ ⎠ ，∃δ " > 0， 0 ∀x x (0 < − | x |< δ ")： | | | ( ) | | | 2 B g B x > −ε ≥ 。 取δ δ = > min{ ",δ 1 2 ,δ } 0 ，当 0 0 | < x x − |< δ ，成立 ( ) ( ( ) ) (() ) ( ) ( ) f A B f A A g B g B Bg − − − − ≤ x x x x x 2 2(| | | |) | | A B B ε + < ， 所以（3）成立。 7． 求下列各极限： （1） 2 2 ( , ) (0,1) 1 lim x y xy x y + − → ； （2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim x y x y x y + + + → ； （3） xy xy x y 1 1 lim ( , ) (0,0) + − → ； （4） 1 1 lim 2 2 2 2 ( , ) (0,0) + + − + → x y x y x y ； （5） 2 2 2 ( , ) (0,0) ln( ) lim 2 x y x e y x y + + → ； （6） 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y + + → ； （7） 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( ) 1 cos( ) lim x y x y x y x y + − + → ； （8） 。 2 2 ( ) lim ( ) x y y x x y e − + →+∞ →+∞ + 解 （1） ( , ) (0,1) 2 2 2 2 ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) lim (1 ) 1 lim 1 lim ( ) x y x y x y xy xy x y x y → → → − − = = + + 。 4