乘法不满足交换律,例如,f(x)=tanx,g(x)=2+3x,则 g(f(x)=2+tan x f(g(x))tan(2+3x) 定义1.17设σ是集X到Y的一个映射,如果存在集Y到X 的一个映射τ,使 和 同时成立,则称σ是可逆映射(简称σ可逆),并称τ为o的逆映射 记作σ-1=τ.且τ可逆,且τl=o 如果映射是可逆的,则其逆映射是唯一的。事实上,如果τ1 和v2是o的两个逆映射,即 τG=τ2G=Ix且τ1=0τ2=I 则有 τ=TIy=t(oτ2)=(τ)t2=Ixt2=τ2 故σ的逆映射是唯一的。 定理1.4集X到Y的映射G可逆的充要条件是σ为双射。 证条件是必要的:设σ可逆,即有唯一的τ:Y→X,使 Ix且στ=Iy σ是满射:Vβ∈Y,β=IY(B)=(oτ)β)=σ(τ(B),3a=t(B)∈X 使得σ(a)=β σ是单射:若o(a1)=G(a2) a1=Ix(an)=r(o(1))=(o(a2)=lx(a2)=2;故σ是双射。 条件是充分的:当σ为双射时 β∈Y,彐唯一的a∈X,使σ(αx)=β,定义τY→X,使τ(β)=a, a∈X (ro)(a)=(o(a)=τ(β)=a即τo=I Vβ∈Y,(oτβ)=o(τ(β)=o(a)=β即στ=IY 因此σ是可逆的。 B 定义1.18设σ:X→Y,BCY, G-(B)={aa∈X且o(a)∈B}cX 称为B在σ下的完全原象(或逆象)(记号σ-(β)不意味着映射σ是可 逆的),当B={B}时,(B)表示β在X中的所有原象的集合 σ不是满射,有可能σ-1(β)为空集; σ不是单射,3β∈Y,使σ1(β)至少包含两个元素 σ是双射,Vβ∈Y,集合1(B)都只包含Ⅹ中的一个元素。乘法不满足交换律，例如，f (x) = tan x, g (x) = 2+ 3x, 则 g (f (x))=2+3tan x ; f(g (x))=tan (2+3x) 故 gf  fg . 定义 1.17 设是集 X 到 Y 的一个映射，如果存在集 Y 到 X 的一个映射 ，使 = IX 和  = IY 同时成立，则称是可逆映射(简称可逆)，并称 为的逆映射， 记作 −1=. 且可逆，且 −1=. 如果映射是可逆的，则其逆映射是唯一的。事实上，如果 1 和 2 是的两个逆映射，即 1= 2= IX 且 1 =2 = IY , 则有 1= 1 IY =1 (2)= (1) 2 = IX 2＝2 故的逆映射是唯一的。 定理 1.4 集 X 到 Y 的映射可逆的充要条件是为双射。 证 条件是必要的：设可逆，即有唯一的  : Y→X，使 = IX 且  = IY 是满射： Y ,  = IY( ) = ()() = ( ()) , =() X ； 使得 ()=; 是单射：若 (1 ) = (2) , 1 = IX (1) = ( (1)) = ( (2)) = IX (2) = 2；故是双射。 条件是充分的：当为双射时，  Y，唯一的 X, 使 ()＝，定义  :Y→X，使  () = ， X ， ()() = ( ()) =  () =  即  = IX；  Y， ()() = (()) = () =  即  = IY 因此是可逆的。  −1 (B) B 定义 1.18 设：X→Y， BY， X Y  −1 (B)= {   X 且 ()B} X 称为 B 在下的完全原象(或逆象)（记号 −1 ()不意味着映射是可 逆的）,当 B = {}时， −1 () 表示 在 X 中的所有原象的集合。 不是满射, 有可能 −1 ()为空集; 不是单射， Y，使 −1 () 至少包含两个元素； 是双射， Y，集合 −1 ()都只包含 X 中的一个元素。 