3 4 例3设X某班学生集,M月份集,每个人对应于他的生日月 份是ⅹ到M的一个映射。|x|>12,至少有两个人的生日对应于 同一个月份。这就是所谓的狄里克莱( Dirichlet)抽屉原理(或称鸽 舍原理) 定义1.14设σ是X到Y的一个映射,如果 (1)对任意的a,a2∈X,当α1≠α2时,o(a)≠(a2),则 称σ为单射(内射, Injection (2)σ(X)=Y,即对于任意的β∈Y,存在α∈X,使σ(a)=β 则称σ为满射(映上的, Surjection); (3)σ既是单射又是满射,则称σ为双射(一一对应 Bijection) (4)va∈X,,I(a)=a),称映射I为Ⅹ上的恒等映射。 有限集到有限集的映射的三种情况,可用下图示意。 单射(不满) 满射(不单) 双射 定义1.15如果σ,τ都是Ⅹ→Y的映射,且对任意的a∈X,o(ax) =τ(a),则称σ=t 定义1.16设G和τ分别是集合A到B和B到C的两个映射, 我们规定其乘积 (τo)=t(o() ∈A 显然τ是集合A到C的一个映射 对于集X到Y的任一个映射σ,显然有 IYG=σIx=σ 其中Ix和I分别是X和Y的恒等映射单位映射) 映射的乘法满足结合律, 映射G:A→B,τ:B→o v(τo)=(v 是A→D的映射,而且对任意的a∈A,均有 v(τo)(α)=v[(to)(a)=v[τ(o(a)=(vτ)o(a)=[(vyo](a) 因此,v(o)=(vτ)成立。c 3 c 3 4 4 例 3 设 X:某班学生集，M:月份集，每个人对应于他的生日月 份是 X 到 M 的一个映射。X>12，至少有两个人的生日对应于 同一个月份。这就是所谓的狄里克莱 (Dirichlet) 抽屉原理(或称鸽 舍原理)。 定义 1.14 设是 X 到 Y 的一个映射，如果: (1) 对任意的 1 , 2 X，当 1  2 时， (1)  ( 2)，则 称为单射(内射，Injection) ; (2)  (X) = Y, 即对于任意的 Y，存在 X, 使 () = , 则称为满射(映上的，Surjection ) ; (3) 既是单 射又是 满射 ，则称 为双 射 (一一 对应， Bijection)。 (4) X, , I() =)，称映射 I 为 X 上的恒等映射。 有限集到有限集的映射的三种情况，可用下图示意。 X ⎯⎯ → Y X ⎯⎯ → Y X ⎯⎯ → Y 单射（不满） 满射（不单） 双射 定义 1.15 如果,都是 X→Y 的映射，且对任意的  X , () = ()，则称= . 定义 1.16 设和 分别是集合 A 到 B 和 B 到 C 的两个映射， 我们规定其乘积 ()() =  ( ()), A . 显然是集合 A 到 C 的一个映射。 对于集 X 到 Y 的任一个映射，显然有 IY =  IX ＝ 其中 IX 和 IY 分别是 X 和 Y 的恒等映射(即单位映射)。 映射的乘法满足结合律， 映射 ：A→B , ：B → C , ： C→D，则 () = () 是 A→D 的映射，而且对任意的 A，均有 [()]()=[()()]=[( ())]=()( ())=[()]() , 因此， ()=()成立。 () C B A A D   