3.证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数,连续的偶函数的原 函数中有且只有一个为奇函数 4.设f(x)在所示区间上是连续函数,证明 1)J0 f(sin )d x=Jo f(cos )d.c: (2)Jo f(sin z)dr= 2Jo f(sin )dr (3)/f(x2+s)=(x+) (4)Jorf(a d x=2Jo af(a)dc(a>0) 5.计算积分Jaos出 i da 6.利用分部积分法证明: f(u)(a-u)du=/(f(r)da)du 7.设f"(x)在[a,连续,且f(a)=f(b)=0,求证: (1)Sf()dr=2Jo r"(a)(ar-a)(a-b)dr (2) f()de s(r2 max I"(a)l 8.设f(x)在>0时连续,对任意a,b>0,积分值 f(a)d 与a无关,求证:f(x)=(c为常数) 9.设f(x)在任一有限区间上可积分,且 m f(ar) 求证: lim f(t)dt=l 73．证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原 函数中有且只有一个为奇函数. 4．设f(x)在所示区间上是连续函数，证明： (1) R π 2 0 f(sin x)dx = R π 2 0 f(cos x)dx； (2) R π 0 xf(sin x)dx = π 2 R π 0 f(sin x)dx； (3) R a 1 f(x 2 + a 2 x2 ) dx x = R a 2 1 f(x + a 2 x ) dx 2x； (4) R a 0 x 3 f(x 2 )dx = 1 2 R a 2 0 xf(x)dx(a > 0)； 5．计算积分R π 2 0 sin x cos x+sin x dx. 6．利用分部积分法证明： Z b a f(u)(x − u)du = Z x 0 ( Z u 0 f(x)dx)du. 7. 设f 00(x)在[a, b]连续，且f(a) = f(b) = 0，求证： (1) R b a f(x)dx = 1 2 R b a f 00(x)(x − a)(x − b)dx； (2) ¯ ¯ ¯ R b a f(x)dx ¯ ¯ ¯ ≤ (b−a) 3 12 max a≤x≤b |f 00(x)|； 8．设f(x)在x > 0时连续，对任意a, b > 0，积分值 Z ab a f(x)dx 与a无关，求证：f(x) = c x（c为常数）. 9．设f(x)在任一有限区间上可积分，且 limx→∞ f(x) = l 求证： limx→∞ 1 x Z x 0 f(t)dt = l 7