作业6设x∈(0,1),xn1=x1(1-xn)(n=1,2…)。试证: lim nx=1 证:因x1∈(O,1,xn+1=xn(1-xn)(n=1,2,…),故xn+1∈(0,1),且 xn+1=x(1-xn)=xn-x2<xn。于是{xn}单调递减有下界0。所以lmxn存在。 设 lim x=a。在xn+1=xn(1-xn)两边取极限得,a=a(1-a),于是a=0。 lim nx= lim s lim n-(n lim Xnin-L n→) n→ n→00X lim(1-xn-1)作业 6 设 1 1 (0,1), (1 )( 1,2, ) n n n x x x x n ∈ + = − = " 。试证： lim n 1。 n nx →∞ = 证：因 x x 1 1 ∈ = (0,1), n n + x (1− xn )(n =1,2,")，故 1 (0,1) nx + ∈ ，且 2 1 (1 ) n n n n n n x x x x x x + = − = − < 。于是{ }nx 单调递减有下界 0。所以 lim n n x →∞ 存在。 设 lim n n x a →∞ = 。在 1 (1 ) n n n x x x + = − 两边取极限得，a a = (1− a) ，于是a = 0。 1 1 1 ( 1) lim lim lim lim 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n x x nx x x x x x − →∞ →∞ →∞ →∞ − − − − ⋅ = = = − − = 2 1 1 1 1 (1 ) lim (1 ) n n n n n n x x x x x − − →∞ − − −1 − − ⋅ − = lim (1 n 1) 1。 n x − →∞ − = 3