0, +2x4=0, 3x1+(2 (4+p)x3+4x4=1 已知(1-11-1)是该方程组的一个解,试求 (Ⅰ)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解 (Ⅱ)该方程组满足x2=x3的全部解 【分析】含未知参数的线性方程组的求解,当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化 增广矩阵为阶梯形,然后对参数进行讨论.由于本题已知了方程组的一个解,于是可先由它 来(部分)确定未知参数 【详解】将(1,-1,1-1)代入方程组,得λ=H.对方程组的增广矩阵A施以初等行变换 120→01 32+λ2+λ41)(0022-1)22-12-1 (I)当λ≠时,有 010 22 r(A)=r(A)=3<4,故方程组有无穷多解,且0=(0,-,,0)为其一个特解, 对应的齐次线性方程组的基础解系为=(-2,1-1,2),故方程组的全部解为 ξ=+k=(0.--,=,0)+k(-2,1,-1,2)(k为任意常数 当A=一时,有 A→>01311 r(A)=r(4)=2<4,故方程组有无穷多解,且0=(-10,0)为其一个特解 对应的齐次线性方程组的基础解系为n1=(1-310)2,n2=(-1-20.2)10      + + + + + = + + + = + + + = 3 (2 ) (4 ) 4 1, 2 2 0, 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x λ x μ x x x x x x x λx μx x 已知 T (1,−1,1,−1) 是该方程组的一个解，试求 (Ⅰ) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ) 该方程组满足 2 3 x = x 的全部解． 【分析】 含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化 增广矩阵为阶梯形, 然后对参数进行讨论. 由于本题已知了方程组的一个解, 于是可先由它 来(部分)确定未知参数. 【详解】 将 T (1,−1,1,−1) 代入方程组，得 λ = μ ．对方程组的增广矩阵 A 施以初等行变换, 得           − − − − − − →           + + = 0 0 2(2 1) 2 1 2 1 0 1 3 1 1 1 0 2 1 3 2 2 4 1 2 1 1 2 0 1 1 0 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ A ， (Ⅰ) 当 2 1 λ  时，有                 → − − 2 1 2 1 0 0 1 2 1 2 1 0 1 0 1 0 0 1 0 A ， r(A) = r(A) = 3  4 ，故方程组有无穷多解，且 T ξ ,0) 2 1 , 2 1 (0, 0 = − 为其一个特解， 对应的齐次线性方程组的基础解系为 T η = (−2,1,−1,2) ，故方程组的全部解为 T T ξ ξ kη ,0) k( 2,1, 1,2) 2 1 , 2 1 (0, = 0 + = − + − − ( k 为任意常数)． 当 2 1 λ = 时，有               − − → 0 0 0 0 0 0 1 3 1 1 2 1 2 1 1 0 1 A ， r(A) = r(A) = 2  4 ，故方程组有无穷多解，且 T ξ ,1,0,0) 2 1 ( 0 = − 为其一个特解， 对应的齐次线性方程组的基础解系为 T η (1, 3,1,0) 1 = − ， T η ( 1, 2,0,2) 2 = − −