故方程组的全部解为 =0+kn1+k22=(-100y+k(1-31.0)+k(-1-2.2) (k,k2为任意常数) (Ⅱ)当≠时,由于x2=x3,即 k k 解得k=-,故方程组的解为 220)7+(-21-1.2)=(-100) 当λ=时,由于x2=x3,即 1-3k1-2k2=k1 解得45k2,故方程组的全部解为 1,0.0)+(-k2)(1,-3,10)+k2(-1,-2,0,2 1 1 444 ,0)+k2(-,,-,2),(k2为任意常数) 【评注】:(1)含未知参数的线性方程组的求解是历年考试的重点几乎年年考,务必很好掌 完全类似的例题可见《数学复习指南》P341例49,《考研数学大串讲》(2002版,世界图 书出版公司)P161例10,以及文登数学辅导班上讲授的例子 (2)对于题(Ⅱ),实际上就是在原来方程组中增加一个方程,此时新的方程组当λ+ 时有惟一解,当A=-时有无穷多解 3)在题(Ⅱ)中,当=1时,解得k2=-2k,方程组的全部解也可以表示为 =(-1001)+k1(311.-4)y,(k为任意常数 (21)(本题满分13分) 设三阶实对称矩阵A的秩为2,A1=2=6是A的二重特征值.若 a1=(110)7,a2=(2,1),a3=(-1.2,-3),都是A的属于特征值6的特征向量 (I)求A的另一特征值和对应的特征向量 (Ⅱ)求矩阵A 【分析】由矩阵A的秩为2,立即可得A的另一特征值为0.再由实对称矩阵不同特征值所 对应的特征向量正交可得相应的特征向量,此时矩阵A也立即可得11 故方程组的全部解为 T T T ξ ξ k η k η ,1,0,0) k (1, 3,1,0) k ( 1, 2,0,2) 2 1 ( = 0 + 1 1 + 2 2 = − + 1 − + 2 − − ( 1 2 k ,k 为任意常数)． (Ⅱ) 当 2 1 λ  时，由于 2 3 x = x ，即 − + k = − k 2 1 2 1 ， 解得 2 1 k = ， 故方程组的解为 T T T ξ ( 2,1, 1,2) ( 1,0,0,1) 2 1 ,0) 2 1 , 2 1 = (1,− + − − = − ． 当 2 1 λ = 时， 由于 2 3 x = x ，即 1 3 1 2 2 1 − k − k = k ， 解得 1 2 2 1 4 1 k = − k ，故方程组的全部解为 T T T ξ k )(1, 3,1,0) k ( 1, 2,0,2) 2 1 4 1 ,1,0,0) ( 2 1 ( = − + − 2 − + 2 − − T T k ,2) 2 1 , 2 1 , 2 3 ,0) ( 4 1 , 4 1 , 4 1 ( = − + 2 − − − ， ( 2 k 为任意常数)． 【评注】：(1) 含未知参数的线性方程组的求解是历年考试的重点, 几乎年年考, 务必很好掌 握. 完全类似的例题可见《数学复习指南》P.341 例 4.9, 《考研数学大串讲》(2002 版, 世界图 书出版公司)P.161 例 10, 以及文登数学辅导班上讲授的例子. (2) 对于题(Ⅱ), 实际上就是在原来方程组中增加一个方程, 此时新的方程组当 2 1 λ  时有惟一解, 当 2 1 λ = 时有无穷多解. (3) 在题(Ⅱ)中，当 2 1 λ = 时，解得 2 2 1 2 1 k = − k ，方程组的全部解也可以表示为 T T ξ ( 1,0,0,1) k (3,1,1, 4) = − + 1 − ， ( 1 k 为任意常数)． (21) (本题满分 13 分) 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， λ1 = λ2 = 6 是 A 的二重特征值．若 T α (1,1,0) 1 = , T α (2,1,1) 2 = , T α ( 1,2, 3) 3 = − − , 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量． (Ⅰ) 求 A 的另一特征值和对应的特征向量； (Ⅱ) 求矩阵 A ． 【分析】 由矩阵 A 的秩为 2, 立即可得 A 的另一特征值为 0. 再由实对称矩阵不同特征值所 对应的特征向量正交可得相应的特征向量, 此时矩阵 A 也立即可得