第2讲度量空间及其拓扑 教学目的:介绍度量空间的公理及其拓扑性质。 授课要点: 度量空间、赋范空间、内积空间的公理体系以及三者的相 互关系。 定义1设X是某个集合,d:XxX→R是一个二元映射,满足 (1)d(x,y)≥0;d(x,y)=0当且仅当x=y (2)d(x,y)=d(y,x) (3)d(x,-)≤d(x,y)+d(y,)(三角不等式) 则称d是X上的度量(距离)函数,称X为度量(距离)空间.有时为了明确,记为(X 度量空间的子集合E,仍以d为E上度量构成的度量空间称为(X,d)的子空间 例1对于n维空间Φ”中的点x=(x1…,x)和y=(1…,y),定义 d(x,y)=∑x-y 容易验证d是Φ"上的度量函数.其中的三角不等式即数学分析中用到的 Minkowski不等式 记此空间为(Φ,d).称之为n维欧几里德( Euclid)空间 实际上在”上还可以定义其他度量,例如d(x,y)=maxx1-y,此时(o,d)仍是度 量空间.但须注意应把(Φ",d1)与(Φ,d)视为不同的度量空间.此外注意今后当说到Φ”是 度量空间时,总意味着它带有欧氏度量 例2空间s 考虑上节例2中的线性空间Φ°,对于x=(x),y=(yn),定义 21 现证明d是度量函数,记此空间为s第 2 讲 度量空间及其拓扑 教学目的：介绍度量空间的公理及其拓扑性质。 授课要点： 度量空间、赋范空间、内积空间的公理体系以及三者的相 互关系。 定义 1 设 X 是某个集合， d : X × X → R 是一个二元映射，满足 （1） 0 d(x, y) ≥ ； d(x, y) = 0 当且仅当 x = y ． （2） ) d(x, y) = d( y, x ． （3） ) d(x,z) ≤ d(x, y) + d( y,z （三角不等式）． 则称 d 是 X 上的度量（距离）函数，称 X 为度量（距离）空间．有时为了明确，记为(X , d) ． 度量空间的子集合 E ，仍以 d 为 E 上度量构成的度量空间称为(X , d) 的子空间． 例 1 对于 n 维空间 n Φ 中的点 ( , , ) 1 n x = x " x 和 ( , , ) 1 n y = y " y ，定义 1 2 2 1 (, ) , n i i i dxy x y =   = −     ∑ （1） 容易验证 d 是 n Φ 上的度量函数．其中的三角不等式即数学分析中用到的 Minkowski 不等式 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2        + −       ≤ −      ∑ − ∑ ∑ = = = n i i i n i i i n i i i x z x y y z , 记此空间为( ,d) n Φ . 称之为 n 维欧几里德（Euclid）空间． 实际上在 n Φ 上还可以定义其他度量，例如 i i i n d x y = x − y 1≤ ≤ 1 ( , ) max ，此时 ( , ) d1 n Φ 仍是度 量空间．但须注意应把 ( , ) d1 n Φ 与( ,d) n Φ 视为不同的度量空间．此外注意今后当说到 n Φ 是 度量空间时，总意味着它带有欧氏度量. 例 2 空间 s ． 考虑上节例 2 中的线性空间 ∞ Φ ，对于 ( ), ( ) n n x = x y = y ，定义 ∑ ∞ = + − − = 1 2 1 1 ( , ) i i i i i i x y x y d x y ． （2） 现证明 d 是度量函数，记此空间为 s ．