如果R是A到B的二元关系,根据定义41.2,<x关系 第4章二元 xRy,<x∈R与xRy意义相同。 定义41.3设A和B是任意集合,空集必叫做A到B的空关 系,仍然记为⑧。A,B的笛卡尔积A×B叫做A到B的全域关 系,记为E。集合1<a,∈A叫做A上的恒等关系。记为 【例41】设A=a,b},B=1,2},求A上的恒等关系和 A到B的全域关系A×B 解:A上的恒等关系l=<4,<bb>,A到B的全域关系 E=A×B=1<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2> 定理41.1设A是具有n个元素的有限集,则A上的二元关 系有22种 证明:设A为具有n个元素的有限集,即=n,由排列组 合原理知A×Am2根据定理3.1.2有P(×A)F214x4=22, 即A×A的子集有2个。所以具有n个元素的有限集A上有2种 二元关系第4章 二元关系 如果R是A到B的二元关系，根据定义4.1.2，x,yR与 xRy，x,yR与x y的意义相同。 定义4.1.3设A和B是任意集合，空集叫做A到B的空关 系，仍然记为。A，B的笛卡尔积A×B叫做A到B的全域关 系，记为E。集合a,a|aA叫做A上的恒等关系。记为IA。 【例4.1】设A=a,b，B=1,2，求A上的恒等关系IA和 A到B的全域关系A×B。 解：A上的恒等关系IA =a,a,b,b，A到B的全域关系 E =A×B=a,1,a,2,b,1,b,2 定理4.1.1设A是具有n个元素的有限集，则A上的二元关 系有2 n2种。 证明：设A为具有n个元素的有限集，即|A|=n，由排列组 合原理知|A×A|=n 2 。根据定理3.1.2有|P (A×A) |=2 |A×A|=2 ， 即A×A的子集有2 个。所以具有n个元素的有限集A上有2 种 二元关系。 2 n 2 n 2 n R