§6.2极大似然估计 极大似然估计法是求估计的另一种方法。它最早由高斯提出。后来为费歇在1912年的文章 中重新提出，并且证明了这个方法 一些性质。极大似然估计龙 名称也是费歇 的。这是 一种上前仍然得到广泛应用的方法。它是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，极 大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A,B,C,。若在一次 试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大。我 们来看一个例子。（例题略） 下面我们对连续型与离散型母体两种情形阐述极大似然估计。 设51,52，…，5n为取自具有概率函数{f(x):0∈⊙}的母体5的一个 子样。子样51,52，…，5n的联合概率函数在5：取已知观测值X,1,n时 的值f(x:f(x;)…xn:)是8的函数。我们用L(0)=L(0:X1,…,Xn) 表示，称作这个子样的似然函数。于是 L(0)=L(0:x,…,xn)=fx:0)fx2;0)…fxn0)(68) 如果是离散型母体，L(0:X1,…,Xn)给出观测到(X1,X2，…，Xm 的概率。因此，可以把L(O:X1,…,Xn)看成为了观测到(X,,X2,…,Xn) 时出现什么样日的可能性的一个测度。所以我们只要寻找这样的观测值(X,,X2,·, Xn)的函数日=日(X1,…,Xn),以日代日使 (6.9) 成立。满足(6.9)式的0(X1，…,Xn)就是最可能产生X,…,Xn的参数0的 值。我们称0(X1,…,Xn)为参数0的极大似然估计值，其相应的统计量52…，5) 称作参数O的极大似然估计量。 如果5是连续型，f(x;),日∈中表示密度函数。于是子样(5，…，5n)落入点 X1…,Xm)的邻城内的概率为门f,8)A,同样是的函数。既然(X1…, Xm)在一次抽样中出现，当然可以认为子样(5，…，5)落在(X1,…，X,)的邻 域内的概率达到最大。所以我们只要找出使∏(x,:O)△x,达到最大的0的值0 (X,,…,Xn)。由于△x,是不依赖于日的增量，我们也只须求出使得 §6.2 极大似然估计 极大似然估计法是求估计的另一种方法。它最早由高斯提出。后来为费歇在 1912 年的文章 中重新提出，并且证明了这个方法的一些性质。极大似然估计这一名称也是费歇给的。这是 一种上前仍然得到广泛应用的方法。它是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，极 大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果 A，B，C，…。若在一次 试验中，结果 A 出现，则一般认为试验条件对 A 出现有利，也即 A 出现的概率很大。我 们来看一个例子。（例题略） 下面我们对连续型与离散型母体两种情形阐述极大似然估计。 设  1 ，  2 ，…，  n 为取自具有概率函数 f (x;):  的母体  的一个 子样。子样  1 ， 2 ，…，  n 的联合概率函数在  i 取已知观测值 x i ，i=1，…n 时 的值 ( ; ) f x1  ( ; ) f x2  … ( ;) n f x 是  的函数。我们用 L（  ）= L（  ；x 1 ，… ，x n ） 表示，称作这个子样的似然函数。于是 L（  ）= L（  ；x 1 ，… ，x n ）= ( ; ) f x1  ( ; ) f x2  … ( ;) n f x （6.8） 如果是离散型母体，L（  ；x 1 ，… ，x n ）给出观测到（x 1 ，x 2 ，… ，x n ） 的概率。因此，可以把 L（  ；x 1 ，… ，x n ）看成为了观测到（x 1 ，x 2 ，… ，x n ） 时出现什么样  的可能性的一个测度。所以我们只要寻找这样的观测值（x 1 ，x 2 ，… ， x n ）的函数  i  = i  （x 1 ，… ，x n ），以   代  使 L（  ；x 1 ，… ，x n ）=  sup L（  ；x 1 ，… ，x n ） （6.9） 成立。满足（6.9）式的   （x 1 ，… ，x n ）就是最可能产生 x 1 ，… ，x n 的参数  的 值。我们称   （x 1 ，… ，x n ）为参数  的极大似然估计值，其相应的统计量 ( , ) 1， n      称作参数  的极大似然估计量。 如果  是连续型， ( ; ) f x1  ， ∈  表示密度函数。于是子样 ( , )  1，   n 落入点 （x 1 ，… ，x n ）的邻域内的概率为 i n i i  f x x =1 ( ; ) ，同样是  的函数。既然（x 1 ，… ， x n ）在一次抽样中出现，当然可以认为子样 ( , )  1，   n 落在（x 1 ，… ，x n ）的邻 域内的概率达到最大。所以我们只要找出使 i n i i  f x x =1 ( ; ) 达到最大的  的值   （x 1 ，… ，x n ）。由于 i x 是不依赖于  的增量，我们也只须求出使得