故 lim f,(x0)=f(x).若∫(x0)=+∞,则f(x0)=n,n≥1.于是 lim f,(x0)=+∞ 此时也有imfn(x0)=f(x0)因此{fn}处处收敛于∫.■ k f,(x) k-1 E E, k-1 图1-3 注3由定理的证明可以看出,若∫还是有界的,则{n}收敛于∫是一致的事实上 若0≤f≤M,则当n≥M时,对任意x∈x,成立 05f()-(x)≤1 因此{n}在X上一致收敛于f 推论10设∫为可测函数则存在简单函数列{n}处处收敛于∫并且|f|≤n≥1 若∫还是有界的,则上述收敛是一致的 证明由于∫可测,故∫和都是非负可测函数由定理9,存在简单函数列{gn} 和{hn},使得gn↑∫,h个∫.令厂=8n-hn,n≥1.由定理8知道{n}是简单函数 列,并且 f=lim(g-h)=f-f=f 川≤gn+hn≤f+f=1 若∫是有界的,则∫和厂都是有界的由注3知道{gn}和{仇hn}分别一致收敛于∫和f 因此{厂n}一致收敛于∫■ 推论11设∫为一给定函数.则∫为可测函数的充要条件是存在简单函数列{fn}处处74 故 lim ( ) ( ). 0 0 f x f x n n = →∞ 若 ( ) , f x0 = +∞ 则 ( ) , f n x0 = n n ≥ 1. 于是 lim ( ) . 0 = +∞ →∞ f x n n 此时也有 lim ( ) ( ). 0 0 f x f x n n = →∞ 因此{ }n f 处处收敛于 f . ■ 图 1—3 注 3 由定理的证明可以看出, 若 f 还是有界的, 则{ }n f 收敛于 f 是一致的. 事实上, 若0 ≤ f ≤ M , 则当n ≥ M 时, 对任意 x ∈ X, 成立 . 2 1 0 ( ) ( ) n n ≤ f x − f x ≤ 因此{ }n f 在 X 上一致收敛于 f . 推论10 设 f 为可测函数. 则存在简单函数列{ }n f 处处收敛于 f 并且 f ≤ f , n ≥ 1. n 若 f 还是有界的, 则上述收敛是一致的. 证明 由于 f 可测, 故 + − f 和f 都是非负可测函数. 由定理 9 , 存在简单函数列{ } gn 和{ }, hn 使得 , . + − g ↑ f h ↑ f n n 令 f = g − h , n ≥ 1. n n n 由定理 8 知道{ }n f 是简单函数 列, 并且 lim f lim(g h ) f f f . n n n n n = − = − = + − →∞ →∞ f g h f f f . n ≤ n + n ≤ + = + − 若 f 是有界的, 则 + − f 和f 都是有界的. 由注 3 知道{ } gn 和{ } hn 分别一致收敛于 + − f 和f . 因此{ }n f 一致收敛于 f .■ 推论 11 设 f 为一给定函数. 则 f 为可测函数的充要条件是存在简单函数列{ }n f 处处 n k 2 −1 n 2 1 1 2 } 2 2 1 { E E k f k n n ≤ < = ∪ − n k 2 y n f (x) f (x) n n 2 2 x N N E1 E2 O