因此知 limf和imf都是可测函数 例5设∫是可测空间(X,T)上的实值可测函数,g是R上的连续函数则复合函数 h(x)=g((x)是(X,)上的可测函数 证明由例3知道g是R上的 borel可测函数,因此对任意 B∈(R),g(B)∈B(R)由于∫是可测的,由定理2,f(g-(B)∈.因此 h(B)=f(g(B)∈.再次应用定理2知道h(x)是(X,T)上的可测函数■ 以上定理和例5表明可测函数类具有较好的运算封闭性,这将使我们在讨论积分的性 质时十分便利 简单函数与可测函数 定义6设(X,分)为一可测空间.称型如 f(x)=∑a,l 的函数为(X,)上的简单函数.其中a12…an是实数,A1…,An是互不不相交的可测集 并且X=Um4 容易证明下面的定理7和定理8,其证明留作习题 定理7函数∫为简单函数当且仅当∫为只取有限个实值的可测函数 定理8设∫和g1都是简单函数则cf(c为实数)f+g,,,∫∨g和f^g 都是简单函数 设{fn}是一函数列.若对每个x∈X,总有fn(x)≤fn1(x),n≥1,则称{fn}是单 调增加的函数列,记为n个.类似地可以定义单调减少的函数列 定理9设∫是非负可测函数.则存在单调增加的非负简单函数列{厂}处处收敛于∫ 证明对每个n≥1,令 fn(r)fk (x)+n(2m1(x) (图1-3是示意图)由于∫是非负可测函数,故每个fn是非负简单函数.易知{fn}是单调增 加的.对任意x0∈X,若f(x)<+,则当n>f(x0)时, 0≤f(x0)-fn(x0)<73 因此知 n n f →∞ lim 和 n n f →∞ lim 都是可测函数. ■ 例 5 设 f 是可测空间(X, F ) 上的实值可测函数, g 是 1 R 上的连续函数. 则复合函数 h(x) = g( f (x)) 是(X, F ) 上的可测函数. 证 明 由 例 3 知 道 g 是 1 R 上 的 Borel 可测函数 , 因此对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ∈ − ( ) 1 g B ( ). 1 B R 由于 f 是可测的, 由定理 2, ∈ − − ( ( )) 1 1 f g B F . 因此 = − ( ) 1 h B ∈ − − ( ( )) 1 1 f g B F . 再次应用定理 2 知道h(x) 是(X, F ) 上的可测函数. ■. 以上定理和例 5 表明可测函数类具有较好的运算封闭性, 这将使我们在讨论积分的性 质时十分便利. 简单函数与可测函数 定义 6 设(X, F ) 为一可测空间. 称型如 ∑= = n i i A f x a I x i 1 ( ) ( ) 的函数为 (X, F ) 上的简单函数. 其中 a "an , 1 是实数, A An , , 1 " 是互不不相交的可测集, 并且 . ∪ 1 n i X Ai = = 容易证明下面的定理 7 和定理 8 , 其证明留作习题. 定理 7 函数 f 为简单函数当且仅当 f 为只取有限个实值的可测函数. 定理 8 设 f 和 g1都是简单函数. 则cf (c 为实数), f + g , fg , f , f ∨ g 和 f ∧ g 都是简单函数. 设{ }n f 是一函数列. 若对每个 x ∈ X, 总有 ( ) ( ), 1, f n x ≤ f n+1 x n ≥ 则称{ }n f 是单 调增加的函数列, 记为 f n ↑ . 类似地可以定义单调减少的函数列.. 定理 9 设 f 是非负可测函数. 则存在单调增加的非负简单函数列{ }n f 处处收敛于 f . 证明 对每个n ≥ 1, 令 ∑= ≥ ≤ < − + − = n n n n k k f n f n n k I x nI x k f x 2 1 { } } 2 2 1 { ( ) ( ). 2 1 ( ) (图 1—3 是示意图)由于 f 是非负可测函数, 故每个 n f 是非负简单函数. 易知{ }n f 是单调增 加的. 对任意 , x0 ∈ X 若 ( ) , f x0 < +∞ 则当 ( ) 0 n > f x 时, . 2 1 0 ( ) ( ) 0 n 0 n ≤ f x − f x <