则A是可测集.我们有 f+g<a=(Anff+g<aU(A nf+g<a) 由于在AC上∫和g不取异号∞为值,由前面的证明知道A∩{f+g<a}是可测集又 由于在A上f+g=0,故 a>0 A∩{f+g<a}= 若a≤0 故A∩⌒{∫+g<a}是可测集.因此{∫+g<a}是可测集.这就证明了∫+g是可测函数 (3).先证∫2是可测函数由于 <a-={san3-)若20 若a<0. 由上式知{2<a}是可测集故∫2是可测函数再由等式 g=f+g)-(f-g)2] 即知∫g是可测函数 (4).由于 ∫<an>-着a>0 若a≤0. {x:(∫vg)(x)≤a}={x:f(x)≤a}∩{x:g(x)≤a}, x:(f∧g)(x)≤a}={x:f(x)≤a}{x:g(x)≤a} 由此知道八,fg和∫^g都是可测函数■ 推论4若∫是可测函数则∫的正部∫+和负部∫都是可测函数 证明容易知道∫+=∫v0,f=(-f)Vv0.再由定理3即知推论成立 定理5设{fn}是一列可测函数.则函数 sup f,, inf f,, limf和 lim f,都是可测函 数特别地若对每个x∈X,极限lmfn(x)存在(有限或±∞),则 lim f,是可测函数 证明由于对任意实数a,我们有 {spf≤a}=∩Un≤a},{ finf f,≥a}=∩n2a 由此知 sup f和inff都是可测函数.由于 limf =inf sup fk, limf -supinf f k n→①72 则 A 是可测集. 我们有 { } ( { }) ( { }). C f +< = ∩ +< ∪ ∩ +< ga A f ga A f ga 由于在 C A 上 f 和 g 不取异号 ∞ 为值, 由前面的证明知道 { } C A f ga ∩ +< 是可测集. 又 由于在 A 上 f + g = 0, 故    ∅ ≤ > ∩ + < = 0. 0 { } a A a A f g a 若 若 故 A∩{ f + g < a}是可测集. 因此{ f + g < a}是可测集. 这就证明了 f + g 是可测函数. (3). 先证 2 f 是可测函数. 由于    ∅ < < ∩ > − ≥ < = 0. { } { } 0 { } 2 a f a f a a f a 若 若 由上式知{ } 2 f < a 是可测集. 故 2 f 是可测函数. 再由等式 [( ) ( ) ] 4 1 2 2 f g = f + g − f − g 即知 f g 是可测函数. (4). 由于    ∅ ≤ < ∩ > − > < = 0. { } { } 0 { } a f a f a a f a 若 若 { : ( )( ) } { : ( ) } { : ( ) }. { : ( )( ) } { : ( ) } { : ( ) }, x f g x a x f x a x g x a x f g x a x f x a x g x a ∧ ≤ = ≤ ∪ ≤ ∨ ≤ = ≤ ∩ ≤ 由此知道 f , f ∨ g 和 f ∧ g 都是可测函数. ■ 推论 4 若 f 是可测函数,则 f 的正部 + f 和负部 − f 都是可测函数. 证明 容易知道 = ∨ 0, = (− ) ∨ 0. + − f f f f 再由定理 3 即知推论成立. 定理 5 设{ }n f 是一列可测函数. 则函数 n n f 1 sup ≥ , n n f 1 inf ≥ , n n f →∞ lim 和 n n f →∞ lim 都是可测函 数. 特别地,若对每个 x ∈ X,极限 lim f (x) n n→∞ 存在(有限或 ± ∞ ), 则 n n f →∞ lim 是可测函数. 证明 由于对任意实数 a, 我们有 {sup } { }, {inf } { }. 1 1 1 1 ∩ ∩ ∞ = ≥ ∞ = ≥ ≤ = ≤ ≥ = ≥ n n n n n n n n f a f a f a f a 由此知 n n f 1 sup ≥ 和 n n f 1 inf ≥ 都是可测函数. 由于 n n f →∞ lim =inf sup , 1 k k n n f ≥ ≥ n n f →∞ lim =supinf . 1 k n k n f ≥ ≥