解设f(x)=tan(sinx)- sin(tan x),则 f(x)=sec(sin x)cos x-cos(tan x )secx 2 cosx-cos(tan x)cos"(sin x) cos-(sIn x)cOS-x 当0<x< arctan-时,0<tanx<,0<simx<x 由余弦函数在(0,-)上的凸性有 anx+sinx cos(tan x)cos(sin x)scos(tan x)+ cos(sin x)]scos 3 &o(x)=tan x+2sin x-3x, (x)=secx+2cos x-3= tanx-4sin-->0 于是tnx+2smx>3x所以 cos tanx+2smx<cosx即 I cos( tan x)cos2(smx)<cos3x 于是当x∈(0 arctan,)时,f(x)>0.又f()=0,所以f(x)>0 当x∈ arctan)时, sin(arctan)<smx<1.由于 tan (arctan -) sin(arctan-) 1+tan(arctan =) /4+n24 故<sinx<1.于是1< tan(sin x)<tanl 当x∈ arctan,二)时,f(x)>0 综上可得,当x∈(0,)时,tan(sinx)>sin(tanx)) , tan(sin )  sin(tan ).  2 π ,  0,  ) ,  (  )  0.  2 π , 2 π  [arctan sin 1.  1 tan(sin )  tan1.  4 π  , 4 π  4 π  π  4 π  1 2 π  ) 2 π  1 tan (arctan ) 2 π  tan(arctan ) 2 π  sin(arctan ) sin 1.  2 π  ) ,  sin(arctan 2 π , 2 π  [arctan ) (  )  0,  ( 0)  0,  (  )  0.  2 π  ( 0, arctan cos ,  cos(tan ) cos (sin )  cos .  3 tan 2sin tan 2sin 3 ,  cos 0.  2 (  )  tan 2sin 3 (  )  sec  2cos 3 tan 4sin .  3 tan 2sin [cos(tan )  2cos(sin )]  cos 3 1 cos(tan ) cos (sin )  2 π  0 .  2 π  , 0 sin 2 π  0 tan 2 π  0 arctan .  cos (sin ) cos cos cos(tan ) cos (sin )  (  )  sec  (sin ) cos cos(tan ) sec  解 设 (  )  tan(sin )  sin(tan ), 则 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 x  x  x  x  f x  x  x  x  x  x  f x  f f x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  f x  x  x  x  x  f x  x  x  Œ > \ Œ > < < < < > + = + = + = Œ < < Œ ¢ > = > < < + + > = + - ¢ = + - = - > + £ + £ < < < < < < - ¢ = - = = - 综上可得 当 （ 时 当 时 故 于是 当 时 由于 于是当 时， 又 所以 于是 所以 即 设 ， 由余弦函数在（ ， ）上的凸性有 当 时， j j