xIn(1+e )dx x{x+ln(e+2+e-)川dx d x 解法三用换元法 令x=-t,记:xln(1+e)a=I,则有 ∫tm(1+e")t=∫2-m(1+e)=∫tm-l 所以 I=LxIn(1+e)dx=lr2 2dt= edr 注:解法三的实质是什麼? 看看一般情况的换元结果:若f(x)在[-a,叫上连续,则有 f(x)d令x= f(-1)d=f(-t)d=f(-x)d f(x)=」Uf(x)+∫(-x)=Jn∫(x)+f(-x)d 上述结果也可以利用下列命题得到 定义在[-a,叫上任意函数,可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和: ∫(x)=[∫f(x)-f(-x)+U∫(x)+∫(-x) 因为∫(x)-f+x)=0,所以有 ∫2fx).=2J(x)+/(x)=「1(x)+/(xd 定积分应用 1.设有曲线族y=kx2(k>0),对于每个正数k(k≥2)曲线y=kx2 与曲线y=six(0≤x≤)交于唯一的一点(t,sint)(其中t=t(k), 用S表示曲线y=kx2与曲线y=sinx(0≤x≤)围成的区域的面积 S2表示曲线y=sinx,y=sint与x=围成的区域的面积求证在上述 曲线族中存在唯一的一条曲线L,使得S1+S2达到最小值 sint 解|k与t的关系是:k ,在区间0<t≤"单调减少。于是 反函数t=1(k)存在,≤k<+∞与0<【≤是一一对应的。所以 S1=S1(),S2=S4(1)。问题转化为:作为t的函数,f()=S(1)+S2() 在区间0<【≤有唯一最小值 sint S, (t=(sinx-2x )dr, S2 (0)=(sinx-sint)dx3 8 2 1 [ ln( 2 )] 2 1 ln(1 ) 2 2 2 2 2 2 2 = = + = + + +    − − − − x dx x e dx x x e e dx x x x [解法三] 用换元法 令 x = −t ，记： x e dx I x + = − 2 2 ln(1 ) ，则有 I t e dt t t e dt t dt I t t = + = − + = −  − − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 ln(1 ) [ ln(1 )] 所以 3 8 2 1 ln(1 ) 2 0 2 2 2 2 2 2 = + = = = − −  I x e dx t dt t dt x [注]：解法三的实质是什麽？ 看看一般情况的换元结果：若 f ( x) 在 [−a, a] 上连续，则有   − − − − = − − − = − = − a a a a a a a a f (x)dx令x t f ( t)dt f ( t)dt f ( x)dx     = + − = + − − − a a a a a f x dx f x f x dx f x f x dx 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 上述结果也可以利用下列命题得到： 定义在 [−a, a] 上任意函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和： [ ( ) ( )] 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 f (x) = f x − f −x + f x + f −x 因为 [ ( ) − (− )] = 0 − a a f x f x dx ，所以有    = + − = + − − − a a a a a f x dx f x f x dx f x f x dx 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 二、定积分应用 1．设有曲线族 ( 0) 2 y = kx k  ,对于每个正数 k ( 2 4  k  ),曲线 2 y = kx 与曲线 ) 2 sin (0  y = x  x  交于唯一的一点 (t, sint) (其中 t = t(k) )， 用 S1 表示曲线 2 y = kx 与曲线 ) 2 sin (0  y = x  x  围成的区域的面积； S 2 表示曲线 y = sin x, y = sint 与 2  x = 围成的区域的面积.求证在上述 曲线族中存在唯一的一条曲线 L ,使得 S1+S2 达到最小值. [解] k 与 t 的关系是： 2 sin t t k = ，在区间 2 0   t  单调减少。于是 反函数 t = t(k) 存在。 2  k  + 4  与 2 0   t  是 一 一 对应的。所以 ( ) 1 1 S =S t ， ( ) 2 2 S =S t 。问题转化为：作为 t 的函数， ( ) ( ) ( ) 1 2 f t =S t +S t 在区间 2 0   t  有唯一最小值。  = − t x dx t t S t x 0 2 1 2 ) sin ( ) (sin ，  = − 2 2 ( ) (sin sin )  t S t x t dx