3.设厂∈C10,证明:∫fot=(x-x)(x)h [解]先将左端分部积分,得 左=(小m-xJom ∫ x(./(dty'd-Jx"rmrd ∫f(x2x2)d-J,y(x√x)y 再作换元:在第一个积分中,令x2=u,在第二个积分中, 令√x=,于是,左=∫、f(a)hn-∫…/fmh 再利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质,便可得到 左=「x(x)-Jx3(x)d=,(x-x)(=右 4.计算定积分:」,xln(1+e)d 分析积分区间对称,想:能否利用奇、偶函数积分性质? 令∫(x)=xlm(1+ex),→∫(-x)=-xlm(1+e)=-xlm(1+e)+x2 故∫(-x)≠-f(x),f(-x)≠∫(x),即∫(x)非奇非偶。令人失望 是否还存在一线希望?能否将∫(x)改造一下? 令∫(x)+g(x)是奇函数 ∫f(x)h=2(x)+g()-8(x)=∫2(x)d容易 f(x)+g(x)=-f(-x)+g(-x)=xlm(1+e)-x2-g(-x) f(x)-x2-g(-x) 即g( 8( g(x)+g(-x) 取 8(x)=_x 则「xm(1+e2)dt= 解法一 ∫2xk1+e)=2xhm1+)-21+12)d Lx In(1+e)-dx 解法二 ln(1+e)=ln(1+e2)2=ln(e2x+2e2+1)=[x+ln(e2+2+e-) 因为ln(e+2+e-)是偶函数,所以xl(e+2+e-)是奇函数。 于是有3． 设 f  C[0,1] ，证明：    = − 1 0 2 1 0 ( ( ) ) ( ) ( ) 2 f t dt dx x x f x dx x x . [解] 先将左端分部积分，得        =  −  = − 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2 2 2 x f t dt dx x f t dt dx x f t dt xd f t dt x x x x x x 左   =  −  1 0 1 0 2 2 xf (x )( x ) dx xf ( x )( x ) dx 再作换元：在第一个积分中，令 x = u 2 ，在第二个积分中， 令 x = v ，于是， 左   = − 1 0 2 1 0 u f (u)du v f (v)dv 再利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，便可得到 左 = − = − =    1 0 2 1 0 2 1 0 x f (x)dx x f (x)dx ( x x ) f (x)dx 右 4．计算定积分： − + 2 2 x ln(1 e )dx x [分析] 积分区间对称，想：能否利用奇、偶函数积分性质？ 令 ( ) ln(1 ) x f x = x + e ，  2 f ( x) x ln(1 e ) x ln(1 e ) x x x − = − + = − + + − 故 f (−x)  − f (x) ， f (− x)  f (x) ，即 f ( x) 非奇非偶。 令人失望！ 是否还存在一线希望？ 能否将 f ( x) 改造一下？ 令 f (x) + g(x) 是奇函数 − − − = + − = 2 2 2 2 2 2 f (x)dx {[ f (x) g(x)] g(x)}dx g(x)dx 容易！ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ln(1 ) ( ) 2 2 f x x g x f x g x f x g x x e x g x x = − − − + = − − + − = + − − − 即 ( ) ( ) 2 g x = −x − g −x 2  g(x) + g(−x) = −x 取 2 ( ) 2 x g x = − ，则 − − + = 2 2 2 2 2 2 ln(1 ) dx x x e dx x [解法一] 3 8 2 0 2 ] 2 [ ln(1 ) } 2 ] 2 ln(1 ) {[ ln(1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = = + − + + = + − +      − − − − − dx x dx x dx x x e dx x x x e dx x e x x x [解法二] [ ln( 2 )] 2 1 ln( 2 1) 2 1 ln(1 ) 2 1 ln(1 ) x x 2 2x x x x e e e e x e e − + = + = + + = + + + 因为 ln( 2 ) x x e e − + + 是偶函数，所以 ln( 2 ) x x x e e − + + 是奇函数。 于是有