3.设∫(x)在{a,b上二阶可导,且∫"(x)<0,试证 a+b ∫:J(x)(b-a)J(“ 4.设∫(x)在|a,b上连续且单调增,证明: y(x)dh≥“+b ∫(x)dx 5.设∫(x)∈Ca,且对于满足∫叫(x)d=0的任意连续函数(x)都有 f(x)p(x)=0,证明:∫(x)必恒为常数 解答 定积分计算 1.设∫(x)=Jeb,求∫y(x)dk 解]y(x=2/(x)-2 f(rc= ∫(x) (1 2.设A= dt,试用A表示:(1)B - dt 1+t a-lt-a一 (2) dt (1+t) (1)[解]利用换元法:先令t=-,再令+a=y,可得 d a-lt-a (2)[解]利用分部积分法:取We,,d=hv,可得 (1+t)3． 设 f ( x) 在 [a,b] 上二阶可导，且 f (x)  0 ，试证： ) 2 ( ) ( ) ( a b f x dx b a f b a +  −  . 4． 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续且单调增，证明：   +  b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( ) . 5．设 f (x)  C[a,b] ，且对于满足 ( ) = 0  b a  x dx 的任意连续函数 (x) ,都有 ( ) ( ) = 0  b a f x  x dx ，证明： f ( x) 必恒为常数. 解答 一、定积分计算: 1． 设  − = 2 2 1 ( ) x x f x e dx ，求  1 0 xf (x)dx . [解]    = −  = −  1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) f x dx x f x dx x f x x xf x dx ) 1 (1 4 1 4 1 1 0 1 0 3 4 4 e x e dx e x x = = − = − − −  2． 设  + = 1 0 1 dt t e A t ，试用 A 表示：（1）  − − − − = a a t dt t a e B 1 1 ， （2）  + 1 0 2 (1 ) dt t e t . （1）[解] 利用换元法：先令 t = −u ，再令 u+ a = y ，可得 a a a t e A dt t a e = − − −  − − 1 1 （2）[解] 利用分部积分法：取 dt dv t u e t = + = 2 (1 ) 1 , ，可得 A e dt t e t = − + +  2 1 (1 ) 1 0 2