§3.2可测函数的收敛性 教学目的可测函数列可以定义各种收敛性.本节讨论几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛.几种收敛性之间存在一些蕴涵关系.通过本节 的学习,可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的 本节要点本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性 特别是依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异 Egorov定理和 Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz定理在几乎 处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁 以下所有的讨论都是在某一固定的测度空间(X,分,4)上进行的 几乎处处成立的性质设P(x)是一个与x有关的命题.若存在一个零测度集N,使得当 x∈X-N时P(x)成立(换言之,{x:P(x)不成立}cN),则称P(x)(关于测度)几乎处 处成立.记为P(x)-ae.,或者P(x)ae 在上面的定义中,若P(x)几乎处处成立,则集{x:P(x)不成立}包含在一个零测度集 内.若{x:P(x)不成立}是可测集,则由测度的单调性知道p({x:P(x)不成立})=0 显然,若(X,,)是完备的测度空间,则P(x)几乎处处成立当且仅当 ({x:P(x)不成立})=0 例1设给定两个函数∫和g.若存在一个零测度集N,使得当xN时 f(x)=g(x),则称∫和g几乎处处相等,记为f=gae 例2设∫为一广义实值函数若存在一个零测度集N,使得当xgN时<+∞,则 称∫是几乎处处有限的,记为f(<+∞,ae 可测函数的几种收敛性设E是X的子集.f,n(n≥1)定义在E上的函数.若对任 意E>0,存在N>0,使得当n≥N时,对一切x∈E成立(x)-f(x)<E,则称{n} 在E上一致收敛于f,记为fn→fun 定义1设为{fn}一可测函数列,∫为一可测函数 (1)若存在一个零测度集N,使得当xgN时,有limn(x)=∫(x),则称{fn}几乎处 处收敛于f,记为 lim f,=∫ae,或fn->f76 §3.2 可测函数的收敛性 教学目的 可测函数列可以定义各种收敛性. 本节讨论几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛. 几种收敛性之间存在一些蕴涵关系. 通过本节 的学习, 可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的 了解. 本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和 Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎 处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. 以下所有的讨论都是在某一固定的测度空间(X, F ,µ) 上进行的. 几乎处处成立的性质 设 P(x)是一个与 x 有关的命题. 若存在一个零测度集 N, 使得当 x ∈ X − N 时 P(x)成立(换言之, {: () x P x 不成立}⊂ N ), 则称 P(x)(关于测度 µ )几乎处 处成立. 记为 P(x) µ − a.e., 或者 P(x) a.e. 在上面的定义中, 若 P(x)几乎处处成立, 则集{x : P(x)不成立}包含在一个零测度集 内. 若{x : P(x)不成立}是可测集, 则由测度的单调性知道µ({ : ( ) }) 0. x Px 不成立 = 显 然 , 若 (X , F , µ) 是完备的测度空间 , 则 P(x) 几乎处处成立当且仅当 µ({x : P(x)不成立}) = 0. 例 1 设给定两个函数 f 和 g . 若存在一个零测度集 N , 使得当 x ∉ N 时 f (x) = g(x), 则称 f 和 g 几乎处处相等, 记为 f = g a.e. 例 2 设 f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集 N , 使得当 x ∉ N 时 f < +∞, 则 称 f 是几乎处处有限的, 记为 f < +∞, a.e. 可测函数的几种收敛性 设 E 是 X 的子集. f , f (n ≥ 1) n 定义在 E 上的函数. 若对任 意ε > 0, 存在 N > 0, 使得当 n ≥ N 时, 对一切 x ∈ E 成立 f (x) − f (x) < ε , n 则称{ }n f 在 E 上一致收敛于 f , 记为 f f un.. n → 定义 1 设为{ }n f 一可测函数列, f 为一可测函数. (1) 若存在一个零测度集 N, 使得当 x ∉ N 时, 有 lim f (x) f (x) n n = →∞ , 则称{ }n f 几乎处 处收敛于 f , 记为 f f n n = →∞ lim a.e., 或 f f n →a.e.