(2)若对任给的E>0,总有 im1{fn-≥E}=0 则称{fn}依测度收敛于∫,记为∫n-“>f (3)若对任给的δ>0,存在可测集E8,(EB)<d,使得{n}在X-E上一致收 敛于f则称{fn}几乎一致收敛于,记为imfn=∫aun.或fn-→f 容易证明,若将两个ae相等的函数不加区别,则上述几种极限的极限是唯一的.例如 若f>f,fn-)g,则∫=gae.其证明留作习题 例3设(0,+∞),2([0,+∞),m)为区间[0,+∞)上的 Lebesgue测度空间.其中 (0,+∞)是[0,+∞)上的L可测集所成的a-代数,m是R上的L测度在[0,+∞)上的 限制.令 f(x)=1-l1(x),n≥1 则对任意x>0,fn(x)→>0(n→∞).当x=0时f(x)不收敛于0.但m(0})=0,因此 在0+)上一“0由于对E= m12)=m(0.nU[n+∞)=+∞-0,(m→+∞) 因此{〃n}不依测度收敛于0.这个例子表明在一般情况下,几乎处处收敛不一定能推出依测 度收敛 例4设([0,1,([0.1),m)是[0,1上的 Lebesgue测度空间.令 fn(x)=x",n≥1 则对任意>0,{fn}在[O,1-6]上一致收敛于0.由于m(1-o,1])=6可以任意小,因 此∫n->0.又显然∫n—>0 例5设(D,1],([0,),m)是[0,1上的 Lebesgue测度空间.令 ],t=1, 0 图277 (2) 若对任给的ε > 0, 总有 lim { − ≥ } = 0. →+∞ µ f f ε n n 则称{ }n f 依测度收敛于 f , 记为 f f . n →µ (3) 若对任给的δ > 0 , 存在可测集 Eδ , µ(Eδ ) < δ , 使得{ }n f 在 X − Eδ 上一致收 敛于 f, 则称{ }n f 几乎一致收敛于 f, 记为 f f n n = →∞ lim a.un. 或 f f n a..un.  → . 容易证明, 若将两个 a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限是唯一的. 例如, 若 , a.e. f f n → f n → g a.e. , 则 f = g a.e.. 其证明留作习题. 例 3 设 ([0,+∞), M ([0,+∞)), m) 为区间 [0, + ∞) 上的 Lebesgue 测度空间. 其中 M ([0,+∞)) 是[0,+ ∞) 上的 L 可测集所成的σ -代数, m 是 1 R 上的 L 测度在[0, + ∞) 上的 限制. 令 ( ) 1 ( ), 1. , ) 1 ( f x = − I x n ≥ n n n 则对任意 x > 0, f (x) → 0(n → ∞). n 当 x = 0时 f (x) n 不收敛于 0. 但m({0}) = 0, 因此 在[0, + ∞) 上 0. →a.e. n f 由于对 , 2 1 ε = / 1 1 ({ }) ([0, ] [ , )) 0, ( ). 2 mf m n n n n ≥ = ∪ +∞ = +∞ → → +∞ 因此{ }n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不一定能推出依测 度收敛. 例 4 设([0, 1], M ([0,1]), m)是[0, 1]上的 Lebesgue 测度空间. 令 f (x) = x , n ≥ 1. n n 则对任意δ > 0 , { }n f 在[0, 1− δ ] 上一致收敛于 0 .由于 m((1−δ , 1]) = δ 可以任意小, 因 此 0 f n a..un.  → . 又显然 0. →a.e. n f 例 5 设([0, 1], M ([0,1]), m)是[0, 1]上的 Lebesgue 测度空间. 令 , ], 1, , , 1. 1 [ = ≥ − = i n n n i n i Ai n " 图 2—1 (1) A3 0 1 X     2 (1) 1 A2 (2) A2 (2) A3 (3)  A3 3 1 3 2