(图2-1)将{A}先按照n后按照i的顺序重新编号记为{En}.显然m(En)→>0.令 f(x)=IE(x),n21, f(x)=0 对任意E>0,由于 m(n26})=m(E)→0,n→ 故{fn}依测度收敛于∫.但{fn}在[0,1上处处不收敛.事实上,对任意x∈[0,1,必有 无穷多个En包含x0,也有无穷多个En不包含x0.故有无穷多个n使得fn(x0)=1,又有 无穷多个n使得∫n(x0)=0.因此{fn}在x0不收敛.这个例子表明依测度收敛不能推出几 乎处处收敛.例3和例4表明,依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大 几种收敛性之间的关系为叙述简单计,以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注1的说明) 引理2设川(X)<+∞.若fn->∫.则对任意E>0有 im(U:-f2;)=0 证明设E>0是一给定的正数.任取x∈X,若对任意n≥1,存在1≥n,使得 J(x)-f(x)2E.则n(x)不收敛于f(x).这表明 ∩U8-f≥e}c{x:f(x)4→f(x) 由于∫n->f,因此由上式知道 ∩U-≥c:|=0 由于(X)<+∞,由测度的上连续性,我们有 l4Uu-)-Uu-n2)-0 nel ien 容易证明,若fn>f,则∫n>f(其证明留作习题)下面的定理表明当 (X)<+∞时,其逆也成立 定理3(叶戈洛夫)若(X)<+∞,则∫n一→∫蕴涵∫-二>∫. 证明设山(X)<+∞,fn-→∫.由引理2,对任意E>0,有 lim ①u=2a)-0 于是对任意的d>0和自然数k≥1,存在自然数n使得78 (图 2—1)将{ } i An 先按照 n 后按照i 的顺序重新编号记为{ } En . 显然 ( ) → 0. m En 令 f (x) I (x) n En = , n ≥ 1, f (x) = 0. 对任意ε > 0, 由于 m({ f − f ≥ }) = m(E ) → 0, n → ∞. n n ε 故{ }n f 依测度收敛于 f . 但{ }n f 在[0, 1]上处处不收敛. 事实上, 对任意 [0, 1] x0 ∈ , 必有 无穷多个 En 包含 0 x , 也有无穷多个 En 不包含 0 x . 故有无穷多个 n 使得 ( ) 1, f n x0 = 又有 无穷多个 n 使得 ( ) 0. f n x0 = 因此{ }n f 在 0 x 不收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几 乎处处收敛. 例 3 和例 4 表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大. 几种收敛性之间的关系 为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见注 1 的说明). 引理 2 设 µ(X ) < +∞. 若 . a.e. f f n → 则对任意ε > 0有 lim ( { − ≥ }) = 0. ∞ = →∞ ∪ i n i n µ f f ε 证明 设 ε > 0 是一给定的正数. 任取 x ∈ X , 若对任意 n ≥ 1, 存在 i ≥ n, 使得 f (x) − f (x) ≥ ε. i 则 f (x) f (x) n 不收敛于 . 这表明 ∩∪ ∞ = ∞ = − ≥ 1 { } n n i i f f ε {x : f (x) / f (x)}. ⊂ n → 由于 , a.e. f f n → 因此由上式知道 { } 0. 1 =        − ≥ ∞ = ∞ = ∩∪ n n i i µ f f ε 由于 µ(X ) < +∞, 由测度的上连续性, 我们有 lim { } { } 0 1 =        = − ≥         − ≥ ∞ = ∞ = ∞ = →∞ ∪ ∩∪ n n i i i n i n µ f f ε µ f f ε . ■ 容易证明, 若 , a..un. f f n  → 则 f f n →a.e. (其证明留作习题). 下面的定理表明当 µ(X ) < +∞时, 其逆也成立. 定理 3 (叶戈洛夫)若 µ(X ) < +∞, 则 f f n →a.e. 蕴涵 . a..un. f f n  → 证明 设 µ(X ) < +∞, . a.e. f f n → 由引理 2 , 对任意ε > 0, 有 lim { } = 0.         − ≥ ∞ = →∞ ∪ i n i n µ f f ε 于是对任意的δ > 0 和自然数 k ≥ 1, 存在自然数 nk 使得