U-n≥2 令E=UU-八12由测度的次可数可加性我们有 往证在E上,{fn}一致收敛于∫.事实上,由 De morgan公式得 E=n∩4-八<kc∩-<k,k21 (1) 对任意E>0取k足够大使得<E.则由(1)式知道当1≥n时对一切x∈E,有 (x)-f(x)<k<E.即在E上}一致收敛于f这就证明了一) 注2在叶戈洛夫定理中,条件(X)<+不能去掉例如,若令fn(x)=l1m+(x) n≥1.则{fn}在R上处处收敛于0.但容易知道{fn}不是几乎一致收敛于0 定理4若川(X)<+∞,则∫n—些>∫蕴涵fn 证明设(X)<+∞,fn>f.由引理2,对任意E>0有 Ui,-f 由测度的单调性立即得到 m(G-2)=lm心U-2e|=0 即f 本节例3表明,在定理4中,条件(X)<+∞不能去掉 定理5(Res2)若f→>f,则存在{fn}的子列{mn},使得4) 证明设∫n“>∫.对任意E>0和d>0,存在N≥1,使得当n≥N时,有 H({fn-1≥})<6 于是对任意自然数k≥1,存在自然数n,使得79 . 2 }1 { k i n i k k f f δ µ <        − ≥ ∞ = ∪ 令 }. 1 { 1 ∪∪ ∞ = ∞ = = − ≥ k n i i k k E f f δ 由测度的次可数可加性我们有 . 2 }1 ( ) { 1 1 δ δ µ δ µ ≤ =         ≤ ∑ − ≥ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = k k k i n i k k E ∪ f f 往证在 C Eδ 上, { }n f 一致收敛于 f . 事实上, 由 De Morgan 公式得 1 1 1 { } { }, 1. k k C i i k in in E ff ff k k k δ ∞∞ ∞ == = = −< ⊂ −< ≥ ∩∩ ∩ (1) 对任意 ε > 0 取 k 足够大使得 . 1 < ε k 则由(1)式知道,当 nk i ≥ 时对一切 C x ∈ Eδ , 有 . 1 ( ) − ( ) < < ε k f x f x i 即在 C Eδ 上{ }n f 一致收敛于 f .这就证明了 f f n a..un.  → ■ 注 2 在叶戈洛夫定理中, 条件 µ(X ) < +∞ 不能去掉. 例如, 若令 ( ) ( ), [ , ) f x I x n = n +∞ n ≥ 1. 则{ }n f 在 1 R 上处处收敛于 0. 但容易知道{ }n f 不是几乎一致收敛于 0. 定理 4 若 µ(X ) < +∞, 则 f f n →a.e. 蕴涵 f f . n →µ 证明 设 µ(X ) < +∞ , . a.e. f f n → . 由引理 2 , 对任意ε > 0有 lim { } = 0.         − ≥ ∞ = →∞ ∪ i n i n µ f f ε 由测度的单调性立即得到 ( ) − ≥ ≤ →∞ lim µ { f f ε} n n lim { } = 0.         − ≥ ∞ = →∞ ∪ i n i n µ f f ε 即 f f . n →µ ■ 本节例 3 表明, 在定理 4 中, 条件 µ(X ) < +∞不能去掉. 定理 5 (Riesz)若 f f , n →µ 则存在{ }n f 的子列{ } nk f , 使得 . a.e. f f k n → 证明 设 f f . n →µ 对任意ε > 0和δ > 0 , 存在 N ≥ 1, 使得当n ≥ N 时, 有 µ({ f n − f ≥ ε}) < δ . 于是对任意自然数 k ≥ 1, 存在自然数 nk , 使得