(以-=b 我们可适当选取nk使得nk<nk,k=1,2,…往证f—.令 E },i=1,2 对任意x∈E,当k≥i时, fn, (x)-f(x)< 这表明{m}在E1上收敛于f.令E=UE,则{}在E上收敛于f.往证 (E)=0.由 De morgan公式,我们有 =∩E;=∩U4 利用(2容易得到(E)≤1.因此由测度的上连续性并且利用(2),我们有 (E)=1m小U-/2 m∑(n-12k) li 这就证明了f—/■ 几种收敛性之间的关系如图2-2 几乎处处收敛 (X)<∞ 存在子列f 叶戈洛夫定理 (X)< Riese定理 几乎一致收敛 依测度收敛 定理5给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系.利用这种联系,常常可以把依测度80 . 2 1 }) 1 ({ n k k f f k µ − ≥ < (2) 我们可适当选取 nk 使得 nk < nk+1 , k = 1, 2,". 往证 . a.e. f f k n → 令 ∩ }, 1, 2," 1 = { − < = ∞ = i k E f f k i i nk . 对任意 Ei x ∈ , 当k ≥ i 时, . 1 ( ) ( ) k f x f x nk − < 这表明 { } nk f 在 Ei 上收敛于 f . 令 . 1 ∪ ∞ = = i E Ei 则 { } nk f 在 E 上收敛于 f . 往 证 ( ) 0. C µ E = 由 De Morgan 公式, 我们有 }. 1 { 1 1 ∩ ∩∪ ∞ = ∞ = ∞ = = = − ≥ i ii k n c i c k E E f f k 利用(2)容易得到 1 ( ) 1. C µ E ≤ 因此由测度的上连续性并且利用(2), 我们有 0. 2 1 lim }) 1 lim ({ }1 ( ) lim { ≤ = ≤ − ≥         = − ≥ ∑ ∑ ∞ = →∞ ∞ = →∞ ∞ = →∞ k i k i k i n i k i n i c k f f k E f f k k µ µ µ ∪ 这就证明了 . a.e. f f k n → ■ 几种收敛性之间的关系如图 2—2 图 2—2 定理 5 给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系. 利用这种联系, 常常可以把依测度 几乎处处收敛 几乎一致收敛 依测度收敛 µ(X ) < ∞ 叶戈洛夫定理 µ(X ) < ∞ 存在子列 nk f Riese 定理