§21.2泛函的极值 当函数的变分8y(x)足够小时,可以将被积函数在极值函数附近作 Taylor展开,于是,有 +-=厂m{+(1p 1r0 6d+182J+ 其中 F OF 8JlyI 02F 分别是泛函J的一级变分和二级变分.这样就得到:泛函J取极小值的必要条件是泛函的 一级变分为0 6= aF 将上式积分中的第二项分部积分,同时代入边界条件,就有 OF +厂C d OF 8Jly dx d aF L Oy ]8y dz=o 由于Sy的任意性,就可以得到 OF 这个方程称为 Euler-Lagrange方程,它是泛函J列取极小值的必要条件的微分形式.一般说 来,这是一个二阶常微分方程 对于泛函J以]取极大值的情形,也可以类似地讨论,并且也会得到同样形式的必要 条件 在导出 Euler- Lagrange方程时,实际上用到了变分法的一个重要的基本引理: 设(x)是x的连续函数,n(x)具有连续的二阶导数,且n(x) 0,若对于任意n(x) p(a)n(a)dr=0 均成立,则必有(x)≡0 例3设质点在有势力场中沿路径q=q(t)由to,q(to)点运动到t1,q(t1)点,它的 Hamilton作 用量是 S L(t, q, q)dt§21.2 泛 函 的 极 值 第 5 页 当函数的变分δy(x)足够小时，可以将被积函数在极值函数附近作Taylor展开，于是，有 J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 ½h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i F + 1 2! h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i2 F + · · · ¾ dx = δJ[y] + 1 2!δ 2 J[y] + · · · , 其中 δJ[y] ≡ Z x1 x0 h ∂F ∂y δy + ∂F ∂y0 (δy) 0 i dx, δ 2 J[y] ≡ Z x1 x0 h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i2 Fdx = Z x1 x0 h ∂ 2F ∂y2 (δy) 2 + 2 ∂ 2F ∂y∂y0 δy(δy) 0 + ∂ 2F ∂y02 (δy) 02 i dx 分别是泛函J[y]的一级变分和二级变分．这样就得到：泛函J[y]取极小值的必要条件是泛函的 一级变分为0， δJ[y] ≡ Z x1 x0 h δy ∂F ∂y + (δy) 0 ∂F ∂y0 i dx = 0. 将上式积分中的第二项分部积分，同时代入边界条件，就有 δJ[y] = ∂F ∂y0 δy ¯ ¯ ¯ ¯ x1 x0 + Z x1 x0 h δy ∂F ∂y − δy d dx ∂F ∂y0 i dx = Z x1 x0 h ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 i δy dx = 0. 由于δy的任意性，就可以得到 ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 = 0. 这个方程称为Euler–Lagrange方程，它是泛函J[y]取极小值的必要条件的微分形式．一般说 来，这是一个二阶常微分方程． 对于泛函J[y]取极大值的情形，也可以类似地讨论，并且也会得到同样形式的必要 条件． 在导出Euler–Lagrange方程时，实际上用到了变分法的一个重要的基本引理： 设φ(x)是x的连续函数，η(x)具有连续的二阶导数，且η(x) ¯ ¯ x=x0 = η(x) ¯ ¯ x=x1 = 0，若对于任意η(x)， Z x1 x0 φ(x) η(x) dx = 0 均成立，则必有φ(x) ≡ 0． 例3 设质点在有势力场中沿路径q = q(t)由t0, q(t0)点运动到t1, q(t1)点，它的Hamilton作 用量是 S = Z t1 t0 L(t, q, q˙) dt