§21.2泛函的极值 第4页 §21.2泛函的极值 何谓泛函极值? 泛函取极值的必要条件? ★先回忆一下有关函数极值的概念 所谓函数f(x)在xo点取极小值,是指当x在xo点及其附近|r-xo|<E时,恒有 ∫(x)≥∫(xo); 而如果恒有 ∫(x)≤f(xo), 则称函数f(x)在xo点取极大值 函数f(x)在xo点取极值(极小或极大)的必要条件是在该点的导数为0, ★可以用同样的方法定义泛函的极值 当变量函数为y(x)时,泛函取极小值”的含义就是:对于极值函数y(x)及其“附 近”的变量函数y(x)+y(x),恒有 y+]≥Jl 所谓函数y(x)+8y(x)在另一个函数y(x)的“附近”,指的是 2.有时还要求(Sy)'(x)<ε 这里的δy(x)称为函数y(x)的变分 ★可以仿照函数极值必要条件的导出办法,导出泛函取极值的必要条件 不妨不失普遍性地假定,所考虑的变量函数均通过固定的两个端点 y(x1)=b, y(xo)=0,Sy(x1)=0. 考虑泛函的差值 +M=/[F(+60+(0-F数d§21.2 泛 函 的 极 值 第 4 页 §21.2 泛 函 的 极 值 • 何谓泛函极值？ • 泛函取极值的必要条件？ F 先回忆一下有关函数极值的概念． 所谓函数f(x)在x0点取极小值，是指当x在x0点及其附近|x − x0| < ε时，恒有 f(x) ≥ f(x0); 而如果恒有 f(x) ≤ f(x0), 则称函数f(x)在x0点取极大值． 函数f(x)在x0点取极值(极小或极大)的必要条件是在该点的导数为0， f 0 (x0) = 0. F 可以用同样的方法定义泛函的极值． “当变量函数为y(x)时，泛函J[y]取极小值”的含义就是：对于极值函数y(x)及其“附 近”的变量函数y(x) + δy(x)，恒有 J[y + δy] ≥ J[y]. 所谓函数y(x) + δy(x)在另一个函数y(x)的“附近”，指的是： 1. |δy(x)| < ε； 2. 有时还要求|(δy) 0 (x)| < ε． 这里的δy(x)称为函数y(x)的变分． F 可以仿照函数极值必要条件的导出办法，导出泛函取极值的必要条件． 不妨不失普遍性地假定，所考虑的变量函数均通过固定的两个端点 y(x0) = a, y(x1) = b, 即 δy(x0) = 0, δy(x1) = 0. 考虑泛函的差值 J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 h F ¡ x, y + δy, y 0 + (δy) 0 ¢ − F(x, y, y 0 ) i dx