四含参变量积分 四含参变量积分 *按照常义积分与反常积分分别讨论 十反常积分的一致收敛 定义：本质与函数项级数一致收敛相同 判别： 1.△关于(4A)的充要条件 与函数项级数时充要条件类似，可以此直接计算说明是否一致收敛 2.柯西收敛原理 充要条件，常用于反例构造 3.魏尔斯特拉斯判别法 与连续函数的无穷积分比较，柯西收敛原理说明 *条件较强，难以使用 4.迪利克雷判别法 利用积分中值定理分段放缩可说明 5.阿贝尔判别法 利用分部积分计算 *当只有单个因子包含时情况更加简化 十重要问题 *重点观察：关于u的函数p四=厂f红，山性质（可看作函数项级数处理） 1.()是否连续？ 对常义积分：二元函数∫连续时，中必然连续。 △此处事实上可弱化为在区间上可积（难证，利用可积函数由连续函数逼近说明）。 对反常积分：添加一致收敛后连续成立（通过拆分逼近）。 2.p()是否可导？ 对常义积分：∫与存在且连续时，可由定义直接计算导数 *,b为常数时，可直接交换求导，否则考虑拆分为复合函数可计算出导数 对反常积分：求导后连续且一致收敛可推出求导与积分可交换 3.(u)是否可积？ 对常义积分：连续时积分号可以交换顺序(A2知识) 对反常积分：添加一致收敛，拆分通近知对常义积分可与广义积分交换 △对u广义积分时，首先需对工，u分别的广义积分均一致收敛，再添加绝对可积条件 △非负时，利用Dii定理可弱化条件四 含参变量积分 伸 四 含参变量积分 伪按照常义积分与反常积分分别讨论 † 反常积分的一致收敛 定义：本质与函数项级数一致收敛相同 判别： 伱伮 △ 关于η伨A伩的充要条件 与函数项级数时充要条件类似，可以此直接计算说明是否一致收敛 伲伮 柯西收敛原理 充要条件，常用于反例构造 伳伮 魏尔斯特拉斯判别法 与连续函数的无穷积分比较，柯西收敛原理说明 伪条件较强，难以使用 伴伮 迪利克雷判别法 利用积分中值定理分段放缩可说明 伵伮 阿贝尔判别法 利用分部积分计算 伪当只有单个因子包含u时情况更加简化 † 重要问题 伪重点观察：关于u的函数φ伨u伩 伽 Z b a f伨x, u伩佤x性质伨可看作函数项级数处理伩 伱伮 φ伨u伩是否连续？ 对常义积分：二元函数f连续时，φ必然连续。 △ 此处事实上可弱化为f在区间上可积伨难证，利用可积函数由连续函数逼近说明伩。 对反常积分：添加一致收敛后连续成立伨通过拆分逼近伩。 伲伮 φ伨u伩是否可导？ 对常义积分：f与 ∂f ∂u存在且连续时，可由定义直接计算导数 伪a, b为常数时，可直接交换求导，否则考虑拆分为复合函数可计算出导数 对反常积分：求导后连续且一致收敛可推出求导与积分可交换 伳伮 φ伨u伩是否可积？ 对常义积分：f连续时积分号可以交换顺序伨佁伲知识伩 对反常积分：添加一致收敛，拆分逼近知对u常义积分可与广义积分交换 △ 对u广义积分时，首先需对x, u分别的广义积分均一致收敛，再添加绝对可积条件 △ 非负时，利用佄佩佮佩定理可弱化条件