8z03a.nb =|S()-S(二0)=|S(二)-S(-)+Sn(二)-Sn(20)+Sn(=0)-S(=0 因为一致收敛,故V->0,彐与无关的N(E),使得当n>N(ε)时 s)-S)<5(因为级数一致收敛,故对:与20,N相同) S(二a)-S(=0)<-(因为一致收敛) 每一项连续,有限项之和必连续,对ε/3,彐δ,使得 -=0|<6时,|Sn()-Sn(=o)< 综上,Vε>0,彐δ,使得-=|<6时 =|S(=)-S(=0)<E S()连续 收敛是和函数连续的充分条件 ▲若非一致收敛,则不一定能保证和函数连续 反例:级数∑4- 在<1收敛,在x=1也收敛 在0≤x≤1收敛,但并非一致收敛 S(x)= 1,0≤x<1(绝对收敛,故可以这样写成两个级数) S()=0,mS)=1+1)级数Sx)不连续 k+12二2k+3 反例:级数 在直线段L:{yFx1收敛(试证之) 际上它至少在圆心于原点的右半单位圆D收敛。 可以证明,它在L上不是一致收敛 S(-)=2二-ln=+1 ln2而S(1)=2-ln4 limS(二)≠S(1)尽管在D上收敛I = S(z) - S(z0) = S(z) - Sn(z) +Sn(z) -Sn(z0) +Sn (z0) - S(z0) I < S(z) - Sn(z) + Sn(z) - Sn(z0) + Sn(z0) - S(z0) 因为一致收敛 ，故 ∀ ε 3 > 0, ∃ 与 z 无关的 N(ε), 使得当 n > N(ε) 时 S(z) - Sn(z) < ε 3 （因为级数一致收敛 ，故对 z 与 z0，N 相同） S(z0) - Sn(z0) < ε 3 （因为一致收敛 ） 每一项连续 ，有限项之和必连续 ，对 ε/3, ∃ δ, 使得 z - z0 < δ 时，Sn(z) - Sn(z0) < ε 3 综上， ∀ ε > 0，∃ δ，使得 z - z0 < δ 时 I = S(z) - S(z0) < ε ⟹ S(z) 连续 ▲ 一致收敛是和函数连续的充分条件。 ▲ 若非一致收敛，则不一定能保证和函数连续。 反例 ：级数  k=1 ∞ xk-1 - xk  在 x < 1 收敛，在 x = 1 也收敛 在 0 ≤ x ≤ 1 收敛，但并非一致收敛 S(x) = 1 1 - x - x 1 - x = 1, 0 ≤ x < 1 （绝对收敛，故可以这样写成两个级数 ） S(1) = 0, lim x1 S(x) = 1 ≠ S(1) 级数 S(x) 不连续 反例 ：级数  k=0 ∞  zk+1 k + 1 - 2 z2 k+3 2 k + 3  在直线段 L：  y = 0 -1 < x ≤ 1 收敛 （试证之） 实际上它至少在圆心于原点的右半单位圆 D 收敛。 可以证明，它在 L 上不是一致收敛 ， S(z) = 2 z - ln[z + 1] lim z1 S(z) = 2 - ln2 而 S(1) = 2 - ln4 lim z1 S(z) ≠ S(1) 尽管在 D 上收敛 8 z03a.nb