03a. nb 从而Sn-S=pm<M <E=N= 下图为Tp(=,n)在二=c127°,n=100,p从1到50的值,箭号表示从Tp到Tp+1,红色点为T 当然,以上并非证明,但给我们一个图像: Cauchy判据乘以(n+1)在“兜圈 这种“兜圈”形式的级数之敛散性的证明将在下节讨论 内闭一致收敛:在开区域D内的任意闭区域(不包含D的边界)一致收敛,称在开区域D上内闭一致收敛 闭区域解析:从闭区域扩展到开区域。即:能找到一个包含闭区域的开区域,在这个开区域内,函数解析 内闭一致收敛:从开区域塌缩到闭区域。在开区域内的任何一个闭区域上一致收敛 ·在开区域D内一致收敛则一定在D内闭一致收敛(存在N的最大值),反之不然 例:级数∑在<1区域绝对收敛、内闭一致收敛,但在开区域<1不是一致收敛。 一致收敛实用判别法: 若常数项(每一项均为常数)级数m每一项均大于0且级数收敛 并且,若对任意k,在区域D或曲线L上,恒有hk(=)≤mk 则级数∑w(在D或L上一致且绝对收敛级数∑m常被称为∑vG)的优级数 在区域D或曲线L上:级数∑()一致收敛且函数m(川<M(常数), 则级数(2)wA()在D或L上一致收敛。 ▲要判断一致收敛:(1)找优级数:(2)把级数的每一项写成一个一致收敛的级数与一个有界函数之积 ▲级数」在<1区域内找不到优级数,但在任何r<1的闭区域|1≤F 可找到优级数: r<q<1,故它是内闭一致收敛 致收敛级数的性质 连续性(逐项求极限) 若级数∑()在区域D内满足:a每一项连续:b.一致收敛,则其和函数 S()=()在D内连续, (蓝色部分为逐项求极限) iS()=S(=0)=)wA(z0)= =→=0 证明:须证明对任意z∈D,当z→0时,S(z)→S(=0) 即:应证明VE>0,彐6,使得当上-d<6时,==)-S=0)<E 论证步骤:从|()-S(=0)川<E -=0|<6(E)从而 Sn+p(z) - Sn(z) = Tp(z, n) (n + 1) < M n + 1 < ε ⟹ N = M ε 下图为 Tp(z, n) 在 z =  127 ° , n = 100, p 从 1 到 50 的值，箭号表示从 Tp 到 Tp+1，红色点为 T1 -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 当然，以上并非证明 ，但给我们一个图像 ：Cauchy 判据乘以 (n + 1) 在 “兜圈”， 这种 “兜圈” 形式的级数之敛散性的证明将在下节讨论 。 ◼ 内闭一致收敛：在开区域 D 内的任意闭区域（不包含 D 的边界）一致收敛，称在开区域 D 上 内闭一致收敛。  闭区域解析：从闭区域扩展到开区域。即：能找到一个包含闭区域的开区域，在这个开区域内，函数解析。 内闭一致收敛 ：从开区域塌缩到闭区域 。在开区域内的任何一个闭区域上一致收敛 。  在开区域 D 内一致收敛则一定在 D 内闭一致收敛（存在 N 的最大值），反之不然。  例： 级数  k zk 在 z < 1 区域绝对收敛 、内闭一致收敛 ，但在开区域 z < 1 不是一致收敛 。 ◼ 一致收敛实用判别法：  若常数项 （每一项均为常数 ） 级数  k mk 每一项均大于 0 且级数收敛 ， 并且，若对任意 k，在区域 D 或曲线 L 上，恒有 wk(z) ≤ mk， 则级数  k wk(z) 在 D 或 L 上一致且绝对收敛 。级数  k mk 常被称为  k wk(z) 的 优级数  在区域 D 或曲线 L 上：级数  k wk(z) 一致收敛且函数 v(z) < M （常数）， 则级数  k v(z) wk(z) 在 D 或 L 上一致收敛 。 ▲ 要判断一致收敛：(1) 找优级数；(2) 把级数的每一项写成一个一致收敛的级数与一个有界函数之积。 ▲ 级数  k zk 在 z < 1 区域内找不到优级数 ，但在任何 r < 1 的闭区域 z ≤ r， 可找到优级数 ：  k qk, r < q < 1，故它是内闭一致收敛 。 ◼ 一致收敛级数的性质  连续性（逐项求极限） 若级数  k wk(z) 在区域 D 内满足：a. 每一项连续 ；b. 一致收敛 ，则其和函数 S(z) =  k=0 ∞ wk(z) 在 D 内连续，即：（蓝色部分为逐项求极限 ） lim zz0 S(z) = S(z0) =  k=0 ∞ wk(z0) =  k=0 ∞ lim zz0 wk(z) 证明： 须证明对任意 z ∈ D，当 z  z0 时， S(z)  S(z0) 即：应证明 ∀ ε > 0, ∃ δ, 使得当 z - z0 < δ 时，I = S(z) - S(z0) < ε。 论证步骤：从 S(z) - S(z0) < ε ⟸ z - z0 < δ (ε) z03a.nb 7