6z03a.nb 级数∑-)在曲线L;(02631上 比值法:lim =≡在凵<1区域绝对收敛 在z=1点,hn=-,发散,或应用高斯法 A>1,Reμ=1发散 原级数在L上并非绝对收敛级数。 下证明它在L上一致收敛 VE>0,要找一个与二无关的Ne),使得 当n>N时,对任意自然数p,1=Ewe< 必须从I<E出发导出n>N(E)。在L上 = (n+1) 中括号内,当〓在L上时,第一项大于第二项,第三项大于第四项…,因此 若总项数p为偶数,必大于0,即任意偶数项之和大于0(对二在L上) 若总项数p为奇数,因偶数项之和>0,最后一项也>0,总和仍>0 中括号内各项之和大于 又:对〓在L上,每一项的绝对值都比后一项大, 故:前(2m-1)项之和<1,前2m项之和小于前(2m-1)项之和 因此,中括号内各项之和大于0小于1,故/+11 n+1n+1 <E← <E∈=n>ln--1,取N=ln-即可, N与:无关(只要=在曲线L:{05x51上) 实际上S(-1 n(1+),对≤1且二≠-1 该复数级数在≤1-6闭区域一致收敛(6>0,δ很小) 1 Log [1+z ·借助番 Mathematica,判断在闭区域≤1-6,这个级数一致收敛 对叫≤1-6(小量6>0), Cauchy一致收敛判据中的任意连续的p项和要满足 ISn+p(=)-Sm()=>wn+()<e 可用番 Mathematica计算Tp(,n)=(n+1)[Sn+p(=)-Sn()l, 并验证对任意自然数p,|c=,m)<M(有界)级数  k=1 ∞ (-1)k zk k 在曲线 L：  0 ≤ x ≤ 1 y = 0 上 比值法：lim n∞ wn+1 wn = z ⟹ 在 z < 1 区域绝对收敛 。 在 z = 1 点，wn = 1 n , 发散， 或应用高斯法 wn wn+1 = 1 + 1 n = 1 + μ n + o 1 nλ , λ > 1, Re μ = 1 发散 原级数在 L 上并非绝对收敛级数 。 下证明它在 L 上一致收敛 ∀ ε > 0, 要找一个与 z 无关的 N(ε)，使得 当 n > N 时，对任意自然数 p，I =  k=1 p wn+k(z) < ε。 现必须从 I < ε 出发导出 n > N(ε)。在 L 上 I = zn+1 n + 1 - zn+2 n + 2 + zn+3 n + 3 - zn+4 n + 4 + ... = zn+1 n + 1 1 - (n + 1) (n + 2) z + (n + 1) (n + 3) z2 - (n + 1) (n + 4) z3 + ... 中括号内，当 z 在 L 上时，第一项大于第二项 ，第三项大于第四项 ...，因此， 若总项数 p 为偶数，必大于 0，即任意偶数项之和大于 0 （对 z 在 L 上） 若总项数 p 为奇数，因偶数项之和 > 0，最后一项也 > 0，总和仍 > 0 故：中括号内各项之和大于 0。 又：对 z 在 L 上，每一项的绝对值都比后一项大 ， 故：前 (2 m - 1) 项之和 < 1，前 2 m 项之和小于前 (2 m - 1) 项之和， 因此，中括号内各项之和大于 0 小于 1，故 I < z n+1 n + 1 < 1 n + 1 I < ε ⟸ 1 n + 1 < ε ⟸ n > ln 1 ε - 1, 取 N = ln 1 ε 即可， N 与 z 无关 （只要 z 在曲线 L：  0 ≤ x ≤ 1 y = 0 上） 实际上  k=1 ∞ (-1) k zk k = - ln(1 + z), 对 z ≤ 1 且 z ≠ -1 该复数级数在 z ≤ 1 - δ 闭区域一致收敛 （δ > 0，δ 很小） Sum(-1)k zk k , {k, 1, ∞} -Log[1 + z]  借助  Mathematica ，判断在闭区域 z ≤ 1 - δ ，这个级数一致收敛 对 z ≤ 1 - δ （小量 δ > 0），Cauchy一致收敛判据中的任意连续的 p 项和要满足 Sn+p(z) - Sn(z) =  k=1 p wn+k(z) < ε 可用  Mathematica 计算 Tp(z, n) = (n + 1) [Sn+p(z) - Sn(z)], 并验证 对任意自然数 p， Tp(z, n) < M （有界） 6 z03a.nb