8w<c→-洲<,在区域1=1<1有1-1<2 2l-叫<E 如A=Ne,2)找到N,因此级数是收敛的。 但,是否一致收敛?需要找一个与二无关的N,或者说对|=|<1,找一个N的最大值 由M(E,=) 对|=|<1区域,似乎找不到最大的M(e),应该不是一致收敛 是否一定找不到最大的N(E),当然需要证明。 证法一:利用收敛但不是一致收敛的充要条件证明该级数非一致收敛 对c0=0.1,对任意整数N,都存在某个n0>N 某个自然数和某个点|=0|<1,使得∑wn2≥ 取po=1,=0=-1+6with6=10-M>0,这时对m=N+1 对任意给定的正整数N,只要M足够大,δ就足够小 就可以使(1-10-0x1~1-(+1)10>c=0.1 故在叫<1,原级数不是一致收敛。 这里的关键在于如果N与z无关,〓改变(变、M变)时N不能随之改变。 证法二:利用反证法证明该级数非一致收敛。 设该级数一致收敛,那么对任意E,均可找到一个与无关的M(E),使得当n>N时, 对任意自然数p与满足H<1的,均有:>wn+()<E 下用反证法证明,对p=1就不满足 对n=N+1,p=1,取=0=-1+10-M。显然对任意正整数M,=均满足l<l。 P=1时,(1.2)式退化为 +1-28+1=(1-10-0)+2-10-4>(1-10- 因为N与无关,M变化时,N不变,因此对那个找到的与无关的Ne),我们可以取足够大的M, wnk()>(1-10-)+>e,这就与(1.2)式相矛盾 故找不到与z无关的N。该级数不可能是一致收敛的。 理解(注意,这里的理解并非数学证明):前面已求得N(E,2)=—与有关, 接着应该在区域<1内找到一个最大的N。 显然,在区域<1内 无最大值(因为可以无限接近于1) In E/2 若在<-区域,M(E,z) 在此区域可取最大值 In E/2 对应于 n1/2=N)与无关。 目例题:一致收敛但不是绝对收敛例 k=1 p wn+k(z) < ε zn 1 - zp < ε，在区域 z < 1 有 1 - zp < 2 ⟸ 2 zn < ε ⟸ n > ln ε/2 ln z = N(ε, z) 找到 N ，因此级数是收敛的 。 但，是否一致收敛 ？需要找一个与 z 无关的 N，或者说对 z < 1 ，找一个 N 的最大值 。 由 N(ε, z) = ln ε/2 ln z , 对 z < 1 区域，似乎找不到最大的 N(ε)，应该不是一致收敛 。 是否一定找不到最大的 N(ε)，当然需要证明 。 证法一：利用 收敛但不是一致收敛的充要条件 证明该级数非一致收敛 。 对 ε0 = 0.1，对任意整数 N，都存在某个 n0 > N, 某个自然数 p0 和 某个点 z0 < 1，使得  k=1 p0 wn+k(z) ≥ ε0 。 取 p0 = 1，z0 = -1 + δ with δ = 10-M > 0，这时对 n0 = N + 1  k=1 p0 wn+k(z) = zN+1 - zN+2 = (1 - δ)N+1 2 - δ > 1 - δ N+1 对任意给定的正整数 N，只要 M 足够大，δ 就足够小 ， 就可以使 1 - 10-M N+1~ 1 - (N + 1) 10-M > ε0 = 0.1 故在 z < 1，原级数不是一致收敛 。 这里的关键在于如果 N 与 z 无关，z 改变 （δ 变、M 变） 时 N 不能随之改变 。 证法二：利用反证法证明该级数非一致收敛 。 设该级数一致收敛 ，那么对任意 ε，均可找到一个与 z 无关的 N(ε)，使得当 n > N 时， 对任意自然数 p 与满足 z < 1 的 z，均有：  k=1 p wn+k(z) < ε。 (1.2) 下用反证法证明 ，对 p = 1 就不满足。 对 n = N + 1, p = 1，取 z0 = -1 + 10-M。显然对任意正整数 M，z0 均满足 z0 < 1。 p = 1 时，(1. 2) 式退化为 ：  k=1 p wn+k(z0) p=1 = z0 N+1 - z0 N+2 = 1 - 10-M N+1 2 - 10-M > 1 - 10-M N+1 因为 N 与 z 无关，M 变化时，N 不变，因此对那个找到的与 z 无关的 N(ε)，我们可以取足够大的 M， 使得  k=1 p wn+k(z) p=1 > 1 - 10-M N+1 > ε，这就与(1. 2) 式相矛盾。 故找不到与 z 无关的 N。该级数不可能是一致收敛的 。 理解 （注意，这里的理解并非数学证明 ）：前面已求得 N(ε, z) = ln ε/2 ln z 与 z 有关， 接着应该在区域 z < 1 内找到一个最大的 N。 显然，在区域 z < 1 内， ln ε/2 ln z 无最大值 （因为 z 可以无限接近于 1）。 若在 z < 1 2 区域， N(ε, z) = ln ε/2 ln z 在此区域可取最大值 , 对应于 z = 1 2 ⟹ ln ε/2 ln 1/2 = N(ε) 与 z 无关。 ☺ 例题：一致收敛但不是绝对收敛例： z03a.nb 5