z03a. nb Q一致收敛 致:显然应是对某区域或某条曲线而言,不是对一点而言。不同于前述的收敛与绝对收敛。 致收敛概念在积分中有重要应用。 定义:级数m()的每一项在区域D或曲线L上有定义 VE>0,存在与无关的M(e),使得当n>N(e)时,对任意∈D或二∈L,均有 -s)<e其中:Ss()=S) 则称级数在区域D或曲线L上一致收敛于S(二) 一致收敛的充要条件( Cauchy判据):与收敛比较,仅在于N与=无关 Ve>0,彐N(e),使得当n>Ne)时,对任意〓∈D或二∈L,对任意自然数p,均有 Smpe)-Sn(=mokke -I wk WNWN. 注意区别绝对收敛和一致收敛,前者可以对点z定义,后者仅对区域或曲线而定义 致收敛与收敛的区别:找到一个对z∈D或z∈L与z无关的(最大的)N。 比较一致收敛与非一致收敛的充要条件 ▲一致收敛的充要条件 (任意)E>0,彐(一个)N(e) 使得当n>Me)时(对任意的n>N),对任意∈D或=∈L,对任意自然数p,均有 Sn+p(-)-Sn(-)=wm+()<E ▲收敛但不是一致收敛的充要条件: 存在一个E0>0,对任意正整数N,都存在一个m>N及某点0∈D或0∈L,使得对某个自然数p,有 Wn+k(2)2E0 例题:绝对收敛但不是一致收敛例 级数∑(1-)在区域1=1< 解:由比值判别法 k+1(=) =|1<1,=绝对收敛 试试看能不能证明一致收敛。 用E-N判别:YE>0,需要导出存在N,使得对任意n>N Wn+k()<e成立 也就是导出使>wnk()<e成立的充分条件n>N,且N与z无关。 一致收敛 一致：显然应是对某区域或某条曲线而言，不是对一点而言。不同于前述的收敛与绝对收敛。 一致收敛概念在积分中有重要应用。 定义：级数  k=0 ∞ wk(z) 的每一项在区域 D 或曲线 L 上有定义 ∀ ε > 0, 存在与 z 无关的 N(ε)，使得当 n > N(ε) 时，对任意 z ∈ D 或 z ∈ L，均有 S(z) - Sn(z) < ε, 其中：Sn(z) =  k=0 n wk(z) 则称级数在区域 D 或曲线 L 上一致收敛于 S(z)。 ◼ 一致收敛的充要条件（Cauchy 判据）： 与收敛比较，仅在于 N 与 z 无关 ∀ ε > 0， ∃ N (ε)，使得当 n > N(ε) 时，对任意 z ∈ D 或 z ∈ L，对任意自然数 p，均有 Sn+p(z) - Sn(z) =  k=1 p wn+k(z) < ε w1 w2 w3 ... wk-1 wk ... wN wN+1 ... wn+1 ... wn+p  注意区别绝对收敛和一致收敛，前者可以对点 z 定义，后者仅对区域或曲线而定义；  一致收敛与收敛的区别：找到一个对 z ∈ D 或 z ∈ L 与 z 无关的（最大的） N。  比较一致收敛与非一致收敛的充要条件： ▲ 一致收敛的充要条件： ∀ （任意） ε > 0， ∃ （一个） N (ε)， 使得当 n > N(ε) 时 （对任意的 n > N），对任意 z ∈ D 或 z ∈ L，对任意自然数 p，均有 Sn+p(z) - Sn(z) =  k=1 p wn+k(z) < ε ▲ 收敛但不是一致收敛的充要条件： 存在一个 ε0 > 0， 对任意正整数 N，都存在一个 n0 > N 及某点 z0 ∈ D 或 z0 ∈ L，使得对某个自然数 p0，有  k=1 p0 wn+k(z) ≥ ε0 ☺ 例题：绝对收敛但不是一致收敛例 级数  k zk-1 - zk 在区域 z < 1 解：由比值判别法 wk+1(z) wk(z) = z < 1，⟹ 绝对收敛 试试看能不能证明一致收敛 。 用 ε - N 判别：∀ ε > 0, 需要导出存在 N，使得对任意 n > N ，  k=1 p wn+k(z) < ε 成立 也就是导出使  k=1 p wn+k(z) < ε 成立的充分条件 n > N ，且 N 与 z 无关。 4 z03a.nb