1收敛 注意区别:高斯法中看 比值法中看|" 比较法 ∑nd收敛且hl则∑u收敛 ∑叫l发散且lal2则∑吗发散 绝对收敛的性质 各项次序可任意调换,级数仍绝对收敛且级数和不变 非绝对收敛级数的求和不一定能任意改变次序 +---+.非绝对收敛 23456 以下推导错误,因为只有绝对收敛才可以改变求和顺序(加法交换律?) 1-3 实际上I=ln2 Sum 可逐项相乘,下式右边仍为绝对收敛级数(乘法分配率与交换律?) 2x12y2 目例题,类似于实函数级数 试证:当日<1, 证明:利用比值法m=<1时,级数绝对收敛 Sn()=1++…+=,=S()=+2+….+=n+1 二者相减:(1-)S()=1-=+1(这里用到加法交换律,对绝对收敛级数是可行的。) 两边取极限:lm(1-)S()=im(1-=+)= (1-) lim Sn(=)=1-lm+=1,S()=wn wn+1 = 1 + μ n + o 1 nλ , λ > 1 Re μ > 1 收敛 Re μ ≤ 1 发散 注意区别：高斯法中看 wn wn+1 比值法中看 wn+1(z) wn(z)  比较法  n vn 收敛且 un ≤ vn, 则  n un 收敛  n vn 发散且 un ≥ vn, 则  n un 发散 ◼ 绝对收敛的性质  各项次序可任意调换，级数仍绝对收敛且级数和不变 ▲ 非绝对收敛级数的求和不一定能任意改变次序 I = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + ... 非绝对收敛 ， 以下推导错误 ，因为只有绝对收敛才可以改变求和顺序 （加法交换律 ？） I = 1 + 1 2 -2× 1 2 + 1 3 + 1 4 -2× 1 4 + 1 5 + 1 6 -2× 1 6 + .... = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... - 2× 1 2 + 1 4 + 1 6 + .... = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... - 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + .... = 0 实际上 I = ln 2 Sum (-1)n-1 n , {n, 1, ∞} Log[2]  可逐项相乘，下式右边仍为绝对收敛级数（乘法分配率与交换律？）  k uk  l vl =  k  l uk vl ☺ 例题，类似于实函数级数 试证：当 z < 1,  k=0 ∞ zk = 1 1 - z 证明：利用比值法 lim k∞  zk zk-1  = z < 1 时，级数绝对收敛 Sn(z) = 1 + z + ... + zn, z Sn(z) = z + z2 + ... + zn+1 二者相减：(1 - z) Sn(z) = 1 - zn+1 （这里用到加法交换律 ，对绝对收敛级数是可行的 。） 两边取极限 ： lim n∞ (1 - z) Sn(z) = lim n∞1 - zn+1 = 1 (1 - z) lim n∞Sn(z) = 1 - lim n∞zn+1 = 1, S(z) = 1 1 - z z03a.nb 3