2 Z03a nb 因为wk()=l(x,y)+in(x,y),故复变函数级数可视为两个二元实变函数级数, 复函数级数收敛 两二元实函数级数收敛。 wA(=)收敛 l4(x,y)和v4(,y)都收敛 收敛的必要条件 证明:imwk()=lim[S4()-S4-1()=IimS4(=)-limS-1()=S-)-S()=0 ■收敛的充要条件— Cauchy判据 VE>0,彐ME,z),使得当n>N(e,=)时,对任意自然数p,均有 I Sm+p()-Sm()1=>wm+ e)<a ·Wk-1Wk·wNN+ +…W 收敛的必要条件(1.1)式:1 lim wk()=0对应于p=1 Q绝对收敛 定义:Sm在:点收敛,则称级数Sv()在:点绝付收敛 若级数本身收敛,各项加绝对值之后的级数不收敛,则称条件收敛 ■若级数绝对收敛,则该级数一定收敛,反之不然。 ■收敛的判别法(与实变函数相同,因为加绝对值之后就变为实函数了) 比值法: q<1,绝对收敛 q>1,发散 q=1,不确定 Im叶<1绝对收敛 >1发散 n→ahwn(=川 根式法 收敛 lim v hn(=q{q>1,发散 q=1,不确定 q<1,收敛 iymw=q{q>1,发散 q=1不确定 高斯法,当比值法遇q=1时常用,当n足够大时因为 wk(z) = uk(x, y) +  vk(x, y)，故复变函数级数可视为两个二元实变函数级数 ， 复函数级数收敛 两二元实函数级数收敛 。  k wk(z) 收敛  k uk(x, y) 和  k vk(x, y) 都收敛 ◼ 收敛的必要条件： lim k∞wk(z) = 0 (1.1) 证明： lim k∞wk(z) = lim k∞[Sk(z) - Sk-1(z)] = lim k∞Sk(z) - lim k∞Sk-1(z) = S(z) - S(z) = 0 ◼ 收敛的充要条件—— Cauchy判据 ∀ ε > 0，∃ N(ε, z)，使得当 n > N(ε, z) 时，对任意自然数 p，均有 Sn+p(z) - Sn(z) =  k=1 p wn+k(z) < ε w1 w2 w3 ... wk-1 wk ... wN wN+1 ... wn+1 ... wn+p  收敛的必要条件 (1.1)式：lim k∞wk(z) = 0 对应于 p = 1。  绝对收敛 定义：  k=0 ∞ wk(z) 在 z 点收敛，则称级数  k=0 ∞ wk(z) 在 z 点绝对收敛 。 若级数本身收敛，各项加绝对值之后的级数不收敛，则称条件收敛。 ◼ 若级数绝对收敛，则该级数一定收敛，反之不然。 ◼ 收敛的判别法 （与实变函数相同，因为加绝对值之后就变为实函数了）  比值法： lim n∞ wn+1(z) wn(z) = q q < 1, 绝对收敛 q > 1, 发散 q = 1， 不确定 lim n∞ wn+1(z) wn(z) < 1 绝对收敛 lim n∞ wn+1(z) wn(z) > 1 发散  根式法 lim n∞ wn(z) n = q q < 1, 收敛 q > 1, 发散 q = 1， 不确定 lim n∞ wn(z) n = q q < 1, 收敛 q > 1, 发散 q = 1 不确定  高斯法，当比值法遭遇 q = 1 时常用，当 n 足够大时 2 z03a.nb