第七章整数规划 S7.1概述 我们知道线性规划最优解的基变量取值可以带小数，但是一些实际问题，常常要求基 变量的取值必须是整数例如，所求的解是机器的台数、完成工作的人数、从A地运往B 地的货车数等等，带小数的解就不符合要求初看起来，为了满足解必须是整数的要求，只 要把线性规划带小数的最优解“舍入化整”就可以了，但这样的解不可能是最优解.因此 对全部或一部分决策变量的取值要求为整数的线性规划问题，必须有能够产生整数解的 算法这类问题称为整数规划问题. 整数规划问题中如果所有的变量都限制为非负整数，就称为纯整数规划或全整数 规划如果只有一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划整数规划中变量取值限制 为0或1的.此变量歇为01峦量.全部变量都是0-1变量的问颗.称为0-1规问题 由于整数规划的算法很繁，在电子计算机上求解花费机时多，因此在解变量取值要求 为整数的问题以前，最好能估计一下不用整数规划求解而用线性规划的解凑整时，目标函 数值损失的上限如果损失不大就可以不用整数规划而用线性规划求解再凑格.以免得不 偿失 我们称最优非整数解为连续解，它的目标函数为：若一个连续解凑整的目标函数 值为，很明显，对一个求极大目标函数值的整数规划问题，。一，就是上述目标函数值 损失的上界 §7.2整数规划问题的图解法 为了帮助理解整数规划问题求解方法先讨论下列简单向题 例1.某工厂有资金13万元用于购置新机器，可在两种机器中任意选购.已知机器 每台购置费2万元B为4万元.该工厂维修能力只能维修7台机器B:若维修机器A,1 台折算2台机器B.已知1台A可增加产值6万元，一台B可增加产值4万元，问应购 置机器A和B各多少台，才能使年产值增加最多？ 解 这个问题的整数规划模型是 nax z =6r+4 满足 2x1+4r2≤13 2r1+x2≤7， 1,2≥0. 、1,2为整数 它和线性想脚不同之外只在干增加了最后一个约成条件.现在暂不考虑整数约声 用图解法求解图7-1画出两个约束条件方程及目标函数值为23的等值线，最优解是 x1=2.5.r2=2.2=23. 整数规划问题没有可行域。但有一组可行点.就是在线性规划问题的可行域内坐标为 整数的点，如图7-2中（1,2）=2,2)等很明显，我们将等值线从左下方向右上方平行 1￾✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞ §7.1 ✟✡✠ ☛✌☞✌✍✌✎✌✏✌✑✌✒✌✓✌✔✌✕✌✖✌✗✌✘✌✙✌✚✌✛✌✜✌✢✌✣✌✤✌✥✌✦, ✧✌★✌✩✌✪✌✫✌✬✌✭✌✮, ✯✌✯✌✰✌✱✘ ✙✌✚✌✗✌✛✌✜✌✲✌✳★✌✴✦ . ✵✌✶, ✷✌✱✗✌✖★✌✸✌✹✗✌✺✌✦✌✻✽✼✌✾✌✿✌❀✌✗✌❁✌✦✌✻✽❂ A ❃✌❄✌❅ B ❃ ✗✌❆✌❇✌✦✌❈✌❈, ✤✌✥✌✦✌✗✌✖✌❉✌❊✌❋✌●✰✌✱. ❍✌■✌❏✌❑, ▲✌▼✌◆✌❖✖✌✲✌✳★✌✴✦✌✗✰✌✱, P ✰✌◗✏✌✑✌✒✌✓✌✤✌✥✌✦✌✗✌✔✌✕✌✖ “❘✌❙✌❚✌✴” ❉✌✢✌✣ ▼, ✧✌❯✌❱✗✌✖✌❊✌✢✌❲★ ✔✌✕✌✖. ❳✌❨, ❩❭❬❭❪❭❫✩ ❪❭❴❭❵❭❛✙❭✚❭✗❭✛❭✜✰❭✱❭▲❭✴✦❭✗❭✏❭✑❭✒❭✓✭❭✮, ✲❭✳❭❜❭❲❭❝❭❞❭❡✴✦❭✖❭✗ ❢✌❣. ❯✌❤✌✭✌✮✌✐✌▲❦❥✌❧✌♠✌♥♦✭✌✮. ✴✦❭✒❭✓✭❭✮q♣r✶❭s❭✷❜❭✗❭✙❭✚❭t❭✉❭✈▲❭✇❭①❭✴✦ , ❉✐❭▲③②❭❥❭❧❭♠❭♥ ❫③④❥❭❧ ♠✌♥; ✶✌s✌P❜✩ ❪✌❴✙✌✚✌✉✌✈▲✌✴✦ , ⑤✌✐✌▲⑦⑥✌⑧✌❥✌❧✌♠✌♥; ✴✦✌✒✌✓ ♣✙✌✚✌✛✌✜✌✉✌✈ ▲ 0 ❫ 1 ✗ , ❨✙✌✚✐✌▲ 0–1 ⑨✌⑩, ❬✌❪✙✌✚✌t★ 0–1 ✙✌✚✌✗✭✌✮, ✐✌▲ 0–1 ♠✌♥✌❶✌❷. ❸❺❹✴✦✌✒✌✓✌✗❢✌❣✌❻✌❼, ❽❿❾❺➀✌➁❢✸✌➂✌✱✖✌➃✌➄✸✌➅✌➆, ❳✌❨✌❽✖✌✙✌✚✌✛✌✜✰✌✱ ▲✌✴✦✌✗✭✌✮✣✌➇, ✔✌➈✌❲✌➉➁✌✩✌➊❊✌➋✴✦✌✒✌✓✱✖✌➌✌➋✌✏✌✑✌✒✌✓✌✗✌✖✌➍✴✌➅, ➎➐➏✌➑ ✦✌✜✌➒✌➓✌✗➂✉ . ✶✌s➒✌➓✌❊✌➔✌❉✌✢✌✣✌❊✌➋✴✦✌✒✌✓✌➌✌➋✌✏✌✑✌✒✌✓✱✖✌→✌➍✴, ✣✌➣✌↔✌❊ ↕➓ .☛❭☞✐ ✔❭✕✇❭✴✦❭✖▲➛➙❭➜❭➝, ➞ ✗ ➎➟➏❭➑✦ ▲ zc; ➠❭✩❭➡❭➢❭➤✖❭➍✴ ✗ ➎➟➏❭➑✦ ✜ ▲ zr, ❻❿➥❺➦, ❩ ✩✌➡✌✱✌➧➔ ➎➐➏✌➑✦✌✜✌✗✴✦✌✒✌✓✭✌✮, zc − zr ❉ ★✌➂✌➨➩➎➐➏✌➑✦✌✜ ➒✌➓✌✗➂✌➫. §7.2 ➭✡➯✡➲✡➳✡➵✡➸✡➺✡➻✡➼✡➽ ▲✌▼✌➾✌➚✌➪✖ ✴✦✌✒✌✓✭✌✮✌✱✖✌➶❣ , ➹✌➘✌➴✌➊✌➷✌➬✌➮✌✭✌✮. ➱ 1. ✃ ✿✌❐✌❜✌❒✌❮ 13 ❰✌Ï➋❹✌Ð✌Ñ✌Ò✸✌✹, ✢ ❽✌Ó✌Ô✌✸✌✹❿♣❺Õ✌Ö✌×Ð . Ø✍✸✌✹ A Ù✺Ð✌Ñ➄ 2 ❰✌Ï,B ▲ 4 ❰✌Ï. Ú ✿✌❐✌Û✌Ü✌❲✌ÝP❲✌Û✌Ü 7 ✺✸✌✹ B; ➠ Û✌Ü✸✌✹ A,1 ✺✌Þ❢ 2 ✺✸✌✹ B. Ø✍ 1 ✺ A ✢✌ß✌à✌❞✌✜ 6 ❰✌Ï, ✩ ✺ B ✢✌ß✌à✌❞✌✜ 4 ❰✌Ï, ✭✌áÐ Ñ ✸✌✹ A â B ã✌➆✌ä✺ , å ❲✌æ✌ç✌❞✌✜✌ß✌à✌✔➆? ➝ ❯✌➡✌✭✌✮✗✴✦✌✒✌✓✌è✌é★: max z = 6x1 + 4x2 ◆✌❖    2x1 + 4x2 ≤ 13, 2x1 + x2 ≤ 7, x1, x2 ≥ 0, x1, x2▲✌✴✦ . ➞êâ✏ê✑ê✒ê✓ê❊êëêìêíPê❽❹ßêà▼ ✔êî✩ê➡êïêðêñêò. óê❽êô❊êõêö✴✦ ïêð, ➋❭÷❭✖❣ ✱✖ . ÷ 7–1 ø❭ù❭Ó❭➡❭ï❭ð❭ñ❭ò➶❭úêû ➎ü➏ê➑✦ê✜▲ 23 ✗❭❈❭✜❭✏, ✔❭✕❭✖★ x1 = 2.5,x2 = 2,z = 23. ✴✦✌✒✌✓✭✌✮✌ý❜✌✢✌þ✌ÿ, ✧ ❜✩✁￾✢✌þ✁✂, ❉ ★✌❽✏✌✑✌✒✌✓✭✌✮✗✌✢✌þ✌ÿ☎✄✝✆➏✌▲ ✴✦✌✗✁✂, ✶ ÷ 7–2 ♣ (x1, x2) = (2, 2) ❈ . ❻❿➥❺➦, ☛✌☞✁✞✌❈✌✜✌✏✌❂✁✟➊➶☎✠✝✡➂➶✁☛❭þ 1