态的速率,因此qn=q,P(X()=X(0)=1)表示过程从状态转到状态j的速 率 定理52.3:Q保守则P()=-qP()+∑qB()∈S,即P()=QP();若 P,(h) v∈Sq<且m-"h 0h=qk≠j关于k一致成立,则 P()=-P()+∑P()9,j∈S,即P()=P()Q 证明:由b>0,2(+b=202=-1-B(0+2边n P(+h)-P(),1-P(h) P(o Pk P() Pk(h) Pk(O h h h P(h 1-P(h) Pk(h) h h 4;h 令h→0有P()+9P()-∑qB(≤9-∑q’由Q保守,再令N→∞即 k=0.k≠ 得P()=-9P()+∑qP(0)l∈S 由h>0 P (t+h)-P (1) 1-P (h) P(h) B()+∑P() 令h→0和条件立 得P()=-P)+∑P(0)q,J∈S 微分方程P(1)=QP()称为 Kolmogorov向后微分方程而微分方程P(t)=P(t)Q 称为 Kolmogorov向前微分方程 在实际问题中,要得到转移概率P(O)=(2()往往是困难的,但它的密度矩 阵g=(q)是由P()在1=0的导数组成,换言之,Q刻画的是P()的无穷小特 征,仅由过程在1=0附近的运动就可以得到,所以实际问题中是先得到Q=(n) 再利用向前或者向后方程求出P(1) 例521:设随机信号以0,1传输,X(1)表示t时刻接收到的信号。X(),t≥0是态i 的速率，因此q q P(X ( ) j X (0) i) ij = i ⋅ τ = = 表示过程从状态i 转到状态 j 的速 率。 定理 5.2.3： Q 保守则 P t q P t q P t i S k i ij′ = − i ij +∑ ik kj ∈ ≠ ( ) ( ) ( ), ，即 ；若 且 P′(t) = QP(t) ∀ S q j j ∈ , < ∞ q k j h P h kj kj h = ≠ ↓ , ( ) lim 0 关 于 k 一致成立，则 P t P t q P t q j S k j ij′ = − ij j + ∑ ik kj ∈ ≠ ( ) ( ) ( ) , ，即 P′(t) = P(t)Q 。 证明：由h > 0， ∑≠ + − = − + − k i kj ik ij ii ij ij P t h P h P t h P h h P t h P t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ = ≠ ∞ = + ≠ ∞ = ≠ = + ≠ − − ≤ = − = − + + − N k k i ii ik k N k i ik k N k i kj ik N k k i kj ik ij ii ij ij h P h h P h h P h P t h P h P t h P h P t h P h h P t h P t 1, 0, 0, 1, ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 令h → 0有 ∑ ∑ = ≠ = ≠ ′ + − ≤ − N k k i i ik N k k i ij i ij ik kj P t q P t q P t q q 0, 0, ( ) ( ) ( ) ，由 保守，再令 即 得 。 Q N → ∞ P t q P t q P t i S k i ij′ = − i ij +∑ ik kj ∈ ≠ ( ) ( ) ( ), 由h > 0， ∑≠ + − = − + − k j kj ij ik ij ij jj h P h P t P t h P h h P t h P t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ，令 和条件立 得 。 h → 0 P t P t q P t q j S k j ij′ = − ij j + ∑ ik kj ∈ ≠ ( ) ( ) ( ) , 微分方程 称为Kolmogorov 向后微分方程，而微分方程 称为 Kolmogorov 向前微分方程。 P′(t) = QP(t) P′(t) = P(t)Q 在实际问题中，要得到转移概率 P(t) (P (t)) = ij 往往是困难的，但它的密度矩 阵 ( ) Q = qij 是由 在 的导数组成，换言之，Q 刻画的是 的无穷小特 征，仅由过程在 P (t) ij t = 0 P(t) t = 0附近的运动就可以得到，所以实际问题中是先得到 ( ) Q = qij ， 再利用向前或者向后方程求出 P(t) 。 例 5.2.1：设随机信号以 0，1 传输，X (t)表示t时刻接收到的信号。X (t),t ≥ 0 是 5