乎立即离开状态,此时称状态i为瞬过态 transient state);当0<q,<∞时,链停 留在状态i的时间服从指数分布,此时称状态i为稳定态( (steadible state)。此外若 ∑q=q,<∞,则称状态为保守的( conservative,若所有状态为保守的,则称 链为保守链,此时称Q一矩阵为保守的。 定理5,2,2:在定理52.1的条件下,设i是一个稳定状态,则对j≠i P(r<s,X(r)=fX(0)=1)=(1-e-9 特别令s→∞,有P(x()=x(0)=)=y q 证明:由定理52.1,在Y(0)=i条件τ是连续型随机变量,故 P(t=S, X()=jX(0)=1)=0.,=inf ( ≠1k=0,2…},则rn↓r。 P(rss, X(r)=jX(0)=i)=lim P(r, ss, X(rm)=jX(0)=i) k P(T X(zn)=X(0)= =,m=12…k-1X( n→a lim lir =(1 P(X(r)=X(0)=1)表示过程离开i立刻转到j的概率,由于q1表示过程离开状乎立即离开状态i ，此时称状态i 为瞬过态(transient state)；当0 < qi < ∞ 时，链停 留在状态 的时间服从指数分布，此时称状态 为稳定态(steadible state)。此外若 ，则称状态i 为保守的(conservative)，若所有状态为保守的，则称 链为保守链，此时称Q -矩阵为保守的。 i i ∑ = < ∞ ≠ i j i qij q 定理 5.2.2：在定理 5.2.1 的条件下，设i 是一个稳定状态，则对 j ≠ i i q s ij q q P(τ s X j X i e i , ( ) (0) ) (1 ) − < τ = = = − 特别令 s → ∞，有 i ij q q P(X (τ ) = j X (0) = i) = 。 证明：由定理 5.2.1 ， 在 X (0) = i 条 件 τ 是连续型随机变量，故 P(τ = s, X (τ ) = j X (0) = i) = 0。令 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ≠ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = , 0,1,2L 2 : 2 inf i k k X k n n n τ ，则τ n ↓τ 。 [ ] [ ] i q s ij n ij n n ii n s ii n n ij n ii n s ii n n k s ij n k ii n n k s n n n k s n n n n n n n q q e P P P P P P P P i m k X i m j X k P X X j X i k P P s X j X i P s X j X i i n n n n n (1 ) 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 lim 2 1 2 1 1 2 1 1 lim 2 1 2 1 lim , 1,2, 1 (0) 2 , 2 lim , ( ) (0) ) 2 lim ( ( , ( ) (0) ) lim ( , ( ) (0) ) 2 2 2 1 2 2 − →∞ →∞ ≤ − →∞ ≤ →∞ ≤ →∞ →∞ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = = − = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = = ≤ = = = ≤ = = ∑ ∑ ∑ L τ τ τ τ τ τ P(X (τ ) = j X (0) = i)表示过程离开i 立刻转到 j 的概率，由于qi 表示过程离开状 4