f(a1,…,an)圳FC∑a2e),va=(a1…,an)∈ 则∫是n元连续函数.E={a,∑|a4F=1是”中的有界闭集从而是紧集,由上一讲定理4 (3),∫可以达到上,下确界.不妨设 B=f(a9,…,a)=inf{f(a1…an);(ax1…,an)∈E} 因为y,…,y线性无关,仅当a1=…=an=0时f(ax1…,an)=0,但(a9…,a)位于E上 故B>0 现在对于每个非0的(a1…,an)∈",令 a4= 则(a1,…,an)∈E,从而‖FC∑ale)B或者 FC∑a4e川‖≥B(∑la4)2, B‖a‖≤‖F(a),va∈ 由定理1,F是从φ"到Y上的同构映射.由于Φ"完备,故Y完备.作为X的子空间,Y 是闭子空间.证毕 设X,Y为线性赋范空间,dimX=dimY=n,则存在到上的一一映射T:”→X和 F:Φ"→Y,使得(1-4-9)成立.由此我们得到 推论2 (1)同维数的有限维线性赋范空间彼此同构 (2)有限维线性空间上的任意两个范数等价 (3)任何有限维线性赋范空间完备.线性赋范空间的任何有限维线性子空间是闭的 最后,让我们证明有限维空间的一个特征 引理( Riesz)设X是线性赋范空间,EcX是闭线性子空间,若E≠X,则 v(0<E<1),存在x∈X,‖x|=1使得d(x2E)=infd(x0,x)>E( , , ) || ( ) || 1 1 ∑= = n k n k k f α " α F α e ， n ∀α = (α1 ,",α n )∈Φ 则 f 是 n 元连续函数． { ; | | 1} 1 2 = ∑ = = n k E α α k 是 n Φ 中的有界闭集从而是紧集，由上一讲定理 4 （3）， f 可以达到上，下确界．不妨设 ( , , ) inf{ ( , , );( , , ) } 1 1 0 0 β = f α1 " α n = f α " α n α " α n ∈ E ． 因为 n y , , y 1 " 线性无关，仅当 0 α1 =" = α n = 时 ( , , ) 0 f α1 " α n = ，但( , , ) 0 0 α1 " α n 位于 E 上， 故 β > 0． 现在对于每个非 0 的 n (α1,",α n ) ∈Φ ，令 2 1 2 1 (∑| | ) = ′ = n k k k k α α α ， 则(α1 ′,",α n ′)∈ E ，从而 ∑α′ ≥ β = || ( ) || 1 n k k k F e 或者 2 1 1 2 1 || (∑ ) || (∑| | ) = = ≥ n k k n k k k F α e β α ， 即 β ||α || ≤ || F(α) || ， n ∀α ∈Φ ． 由定理 1，F 是从 n Φ 到Y 上的同构映射．由于 n Φ 完备，故Y 完备．作为 X 的子空间，Y 是闭子空间．证毕． 设 X ，Y 为线性赋范空间， dim X = dimY = n ，则存在到上的一一映射T X :Φn → 和 F Y :Φn → ，使得（1-4-9）成立．由此我们得到 推论 2 （1）同维数的有限维线性赋范空间彼此同构． （2）有限维线性空间上的任意两个范数等价． （3） 任何有限维线性赋范空间完备．线性赋范空间的任何有限维线性子空间是闭的． 最后，让我们证明有限维空间的一个特征． 引理（Riesz） 设 X 是线性赋范空间， E ⊂ X 是闭线性子空间，若 E ≠ X ，则 ∀ε (0 < ε < 1) ，存在 x0 ∈ X ，|| || 1 x0 = 使得 = > ε ∈ ( , ) inf ( , ) 0 0 d x E d x x x E ．