证明取x∈X\E,E闭,故d(x,E)=d>0.因为d/E>d,取x∈E,使得 x-x'|<d/E.令 x Ro 则‖x0|=1.对于任意的x∈E,E为子空间,故x+-x'lx∈E,此时 x-x' xo ‖ lx-x'‖l F-x'-li-x'l x >d/d/)=s 即d(x0,E)>E 定理3设X是线性赋范空间,则以下条件等价 (1)dim x oo (2)X中每个有界闭集是紧集 (3)X的闭单位球Sx={x∈X川‖x|1}是紧集 (4)单位球面Sn(x)={x,x|=1}是紧集 证明只须证明(4)→(1).若反设dmX=∞,取x1∈X,目x|1,记y1=span{x} 则dim1=1.由定理7,y是闭线性子空间,H≠X.由 Riesz引理,存在x2∈X,‖x2|1 d(x2,)1,记2=pan(x1x2},则dmy2=2,H2闭并且2≠X·从而有x,‖x1|1, d(x,2)>,…由此得到序列{xn},x∈S(),当m≠n时,‖xm-xn|,{xn}没有 收敛子序列.故S(X)不是紧集.矛盾说明dmX<∞ 最后让我们介绍集合的可分性概念.当一个集合为可分集时,研究起来较为方便 定义设X是度量空间,AcX.称集合A是可分的,若存在可数集BcX使得 BA.当X本身可分时,称X是可分空间 命题紧集、相对紧集和完全有界集都是可分的. 证明只需要证明完全有界集的情况.取6↓0,设x“)…x是A的有限6网,令 B={x;k≥l1i≤n1},则B是可数集并且vx∈A,有x∈O(x“),1),故x“)→x,于是证 明 取 x X \ E ~ ∈ ， E 闭，故 , ) 0 ~ d(x E = d > ．因为 d / ε > d ，取 x′∈ E ，使得 || / ε ~|| x − x′ < d ．令 || ~|| ~ 0 x x x x x − ′ − ′ = 则|| || 1 x0 = ．对于任意的 x ∈ E ， E 为子空间，故 x′+ x − x′ || x ∈ E ~|| ，此时 x x x x x x x − − ′ − ′ − = || ~|| ~ || || 0 x x x x x x x || ~|| ~ || ~|| 1 − ′− − ′ − ′ = > = d d /( / ) . ε ε 即 ( , ) > ε d x0 E ． 定理 3 设 X 是线性赋范空间，则以下条件等价： （1）dim X < ∞ ． （2） X 中每个有界闭集是紧集． （3） X 的闭单位球 S = {x ∈ X;|| x ||≤ 1} X 是紧集． （4）单位球面 S (X ) = {x;|| x ||= 1} p 是紧集． 证 明 只须证明（4）⇒（1）．若反设dim X = ∞ ，取 x1 ∈ X ，|| || 1 x1 = ，记 span{ } 1 1 Y = x ， 则dim 1 Y1 = ．由定理 7，Y1 是闭线性子空间，Y1 ≠ X ．由 Riesz 引理，存在 x2 ∈ X ，|| || 1 x2 = ， 2 1 ( , ) d x2 Y1 > ．记 span{ , } 2 1 2 Y = x x ，则dim 2 Y2 = ，Y2 闭并且Y2 ≠ X ．从而有 3 x ，|| || 1 x3 = ‖， 2 1 ( , ) d x3 Y2 > ，…．由此得到序列{ }n x ， x S (X ) n ∈ p ，当 m ≠ n 时， 2 1 || xm − xn ||> ．{ }n x 没有 收敛子序列．故 S (X ) p 不是紧集．矛盾说明dim X < ∞ ． 最后让我们介绍集合的可分性概念．当一个集合为可分集时，研究起来较为方便． 定义 设 X 是度量空间， A ⊂ X ．称集合 A 是可分的，若存在可数集 B ⊂ X 使得 B ⊃ A ．当 X 本身可分时，称 X 是可分空间． 命 题 紧集、相对紧集和完全有界集都是可分的． 证 明 只需要证明完全有界集的情况．取ε k ↓ 0 ，设 ( ) ( ) 1 , , k n k k x " x 是 A 的有限 k ε 网，令 { ; 1,1 } ( ) k k B = xi k ≥ ≤ i ≤ n ，则 B 是可数集并且 ∀x∈ A ，有 ( , ) ( ) k k i x∈O x ε ，故 x x k i ( ) → ，于是