Chapter 7 Fourier Transforms Abstracts:复习 Fourier级数,讲解 Fourier transforms的定义、性质和物理意义 (例题):介绍多重 Fourier Transforms 应用:求解常微分方程;坐标一动量和时间一能量空间具有丰富的物理 为求解偏微分方程的定解问题做准备。 、 Fourier series 1. Fourier级数的定义 (动机:自然界中存在周期函数,其频谱分析可揭示物理规律。) 定义:设函数f()的周期为T,则下述级数称为f()的 Fourier级数, 2 f(o-ao+>la,cost+bn, sin 其中,{an= f(1)c tdt(n=1,2,3 2n丌 f()in-ndt(n=1,2,3,…) 引入圆频率O0 2丌 (如果t是时间空间的变量),上式可改写为 f()-ao+>la, cosn@ol+b, sin noot Tirf(Odi 其中,{4=00d(m=123-) f() sin noord(m=1,2,3,…) Fourier级数的收敛性狄里希莱条件 Dirichlet conditions:对于周期为 T的函数f(t),若它满足:(1)连续,或在每个周期中只有有限个第 类间断点*;(2)在每个周期中只有有限个极值(即每一个部分的小区间 内单调),则其 Fourier级数收敛,并且Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 7 Fourier Transforms Abstracts：复习 Fourier 级数，讲解 Fourier Transforms 的定义、性质和物理意义 (例题)；介绍多重 Fourier Transforms. 应 用：求解常微分方程；坐标—动量和时间—能量空间具有丰富的物理； 为求解偏微分方程的定解问题做准备。 一、 Fourier Series 1. Fourier 级数的定义 (动机:自然界中存在周期函数,其频谱分析可揭示物理规律。) 定义：设函数 f (t) 的周期为 T ，则下述级数称为 f (t) 的 Fourier 级数，            1 0 2 sin 2 ( ) ~ cos n n n t T n t b T n f t a a   ， 其中，     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 ( )d 2 2 ( )cos d 1,2,3, 2 2 ( )sin d 1,2,3, . T T T n T T n T a f t t T n a f t t t n T T n b f t t t n T T                       引入圆频率 T   2 0  （如果 t 是时间空间的变量），上式可改写为       1 0 0 0 ( ) ~ cos sin n n n f t a a n t b n t 其中，     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 1 ( )d 2 ( )cos d 1,2,3, 2 ( )sin d 1,2,3, . T T T n T T n T a f t t T a f t n t t n T b f t n t t n T                       Fourier 级数的收敛性[狄里希莱条件(Dirichlet conditions)]：对于周期为 T 的函数 f (t) ，若它满足：（1）连续，或在每个周期中只有有限个第一 类间断点*；（2）在每个周期中只有有限个极值(即每一个部分的小区间 内单调)，则其 Fourier 级数收敛，并且