第十四讲(一)偏微分方程定解问题 第5页 814.2定解问题的适定性 在什么条件下,定解问题的解是存在的,唯一的,并且是稳定的? 解的存在性——定解问题有解. 如果定解条件过多,互相矛盾,则定解问题无解,.例如,如果一方面要求弦的两端固定,另一 方面又要求它的端点受到确定的外力作用.这两个要求就是互相矛盾的 ★解的唯一性——定解问题的解是唯一的 如果定解条件不足,定解问题的解就不是唯一的 所以,要求定解问題的解存在并且唯一,就是要求定解问题抽象得“合理”,定解条件 要不多不少,恰到好处 ★解的稳定性—如果定解问题中的已知条件(例如方程或定解条件中的已知函数有微 小改变时,解也只有微小的改变 在构造定解间题时,不可避免地总要作简化和近似,显然,只有在稳定性所许可的限度内所 作的简化和近似才是有意义的 所谓定解问题解的存在性、唯一性和稳定性,统称适定性 只要对实际物理问题的抽象是合理的,初始条件的确是完全地、确定地描写了初始时刻(通常 取为t=0)体系内部以及边界面上任意一点的状况,边界条件的确是完全而且确定地描写了边界 面上任意一点在t≥0的状况,那么,这样构成的定解问题就一定是适定的,也就是说,解一定是 存在的、唯一的,并且是稳定的 与此相关的问题是,初始条件和边界条件中出现的已知函数必须满足一定的连续性要求 以热传导问题为例.如果边界条件是 u(x,y,2,t)=f(E,1 而初始条件是 u(x,y,2,t)=0=9(x,y,2) 那么,就应当有 f(,t)=0=叭(x,y,2) 有些定解问题不一定满足这个要求,可以设想,把初始温度分布为o(x,y,2)的一块介质 放到一个恒温环境(例如温度恒为o)中,从而使介质表面的温度也迅速达到恒温uo 如果要求的精度许可,介质表面冷却或升温过程的影响可以忽略,那么,就可以简单地 将边界条件写成Wu Chong-shi ✮✯✰✱ (✲) ✳✴✵✶✷✸✹✺✻ ✼ 5 ✽ §14.2 ✾✿❀❁❂❃✾❄ ❅❆❇❈❉❊✙❋●❍■❏●❑▲❅ ❏✙▼◆❏✙❖P❑◗❋❏ ❘ F ●❏▲❅❙ ❋●❍■❚●✭ ❯❱❲❳❨❩❬❭✙ ❪❫❴❵✙ ❛❲❳❜❝❞❳✭❡❯✙ ❯❱❢❣❤✐❥❦❧♠♥ ♦❲✙ ♣❢ ❣❤q✐❥r❧♥st✉✈❲❧✇①②③✭④♠⑤✐❥⑥⑦❪❫❴❵❧✭ F ●❏▼◆❙ ❋●❍■❏●❑▼◆❏✭ ❯❱❲❳❨❩⑧⑨✙ ❲❳❜❝❧❳⑥⑧⑦⑩❢❧✭ ❶ ❷✙❸❹❺❻ ❼❽❾❻❿✚➀➁➂➃✙➄➅❸❹❺❻ ❼❽➆➇➈ ➉➊➋➌✙❺❻★✩ ❸➍ ➎➍ ➏✙➐➑➒➓✭ F ●❏◗❋❙ ➔→❋●❍■➣❏↔↕❈❉ (➙ ➔➛➜➝❋ ● ❈❉➣❏↔↕➞➟) ❚➠ ➡➢➤➥✙●➦➧❚➠➡ ❏ ➢➤✭ ➨➩➫❲❳❜❝➭✙ ⑧➯➲➳➵➸✐②➺➻➼➽➾✭➚➪✙➶➹➨➘❲➴➷➬➯❧➮➱ ✃➷ ②❧➺➻➼➽➾❐⑦➹❒❮❧✭ ❰Ï❋●❍■●❏▲❅❙Ð▼◆❙Ñ◗❋❙ ✙ÒÓÔ❋❙✭ ➧ÕÖ×ØÙÚ❍■❏ÛÜ❑ÝÚ❏✙Þß❈❉❏à❑áâãÐ à❋ãäåæÞß➥ç (èé êë t = 0) ìíîïðñòóôõö÷◆ø❏ùú✙òó❈❉❏à❑áâûPà❋ãäåæòó ôõö÷◆ø❅ t ≥ 0 ❏ùú✙ü❇ ✙ ýþÿ￾ ❏❋●❍■✁◆❋❑Ô❋❏✙➦✁❑✂✙●◆❋❑ ▲ ❅ ❏ Ð ▼◆❏✙❖P❑◗❋❏✭ ✄☎❫✆❧❜❝⑦✙ Þß❈❉Ñòó❈❉➣✝✞❏↔↕➞➟✟✠✡☛◆❋❏☞✌❙ Õ✍ ✭ ✎✏✑✒❜❝✓❡✭❯❱✔✕❨❩⑦ u(x, y, z, t)   Σ = f(Σ, t), ✖✗✘❨❩⑦ u(x, y, z, t)   t=0 = φ(x, y, z), ✙✚✙ ⑥✛✜➹ f(Σ, t)   t=0 = φ(x, y, z)   Σ . ➹✢ ❲❳❜❝⑧❢❲✣⑨④⑤✐❥✭➯✎✤✥✙ ✦✗✘✧➱★✩✓ φ(x, y, z) ❧❢✪✫✬ ✭✉❢⑤✮✧✯✰ (❡❯✧➱✮✓ u0) ✱✙ ✲✖✳✫✬✴❤❧✧➱✵✶✷✸✉✮✧ u0 ✙ ❯❱✐❥❧✹➱➬➯✙ ✫✬✴❤✺✻✼✽✧❬✾❧✿❀➯✎❁❂✙ ✙✚✙ ⑥➯✎➺❃➵ ❄✔✕❨❩❅❆ u(x, y, z, t)   Σ = u0