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第7期 苏永华等：岩体模糊分类中隶属函数的等效性 671 R=(r时)m×m在所考虑的因素u:(i=1,2,,m) 隶属度值进行衔接，同时在物理量的边界值处采用 之间，各因素在决策中所起的作用不同，于是定义一 正态戒上型和戒下型处理， 个权重w'.w称为U的因素重要度模糊子集，可表 (2)梯形函数 示为： 在模糊分析中梯形隶属函数的典型形式主要有 直边梯形函数1)和似曲边梯形函数.直边梯形函 w'=(01,2D2,,Dm) (3) 数的通常形式为： 当模糊子集w和模糊矩阵R为已知时，即可作模糊 0 x≤1，x>a4 变换进行综合评判： x a1 a2-a1 a1<x≤a2 B=w°R=(b1,b2,,bn) (4) u(x)= (7) 1 a2<x≤a3 B=(b1,b2,,bn)成为决策评语集上V的等级模 x a3 xa4 糊子集，得到了模糊子集B后，则可根据最大隶属 a4-a3 原则确定岩体的质量类别， 式中，：和a+1分别表示某分段的物理量的分段边 界值，在某些情况下，模糊隶属函数取梯形函数的 2隶属函数类型及表达 前半部分或后半部分，就是升半梯形函数或降半梯 确定隶属度的关键是首先确定隶属函数，根据 形函数[，似曲边梯形函数在图形上表现为函数升 评判因素的性质，有些因素的刻画指标在数学上是 降部分为曲线，文献[8]给出了似曲边梯形函数的一 连续的，有些是离散的，对于前者，可以采用连续函 种形式： 数建立隶属度与指标数值之间的函数关系；对于后 2 1 x≤a1 者，通过隶属度值表选取， 1+k(x-am)2 2.1连续隶属度函数 u(x)=1 a1x<a2(8) 目前隶属函数的形式很多，最为常用的隶属函 1 2-1+k(x-am2 x≥a2 数形式有正态型、戒上型、戒下型、三角模糊数、降半 梯形、梯形和岭型等隶属函数类型、其中在岩体稳 式中，a和a2为物理量的边界；k为统计分析得出 定性分析中常用的正态型函数、三角模糊数函数、梯 的拟合常数，它决定了曲线的变化缓急程度 形函数和岭型函数，设岩体稳定性分类决策评语分 (3)岭型函数. 为五个等级，评判因素：的表征指标值为x,其区 在模糊分析中岭型隶属函数是其中采用正弦函 间端点值为x,x+1,其对于决策评语中某一等级 数作为其核心，通过总结大量的实例和应用，其通 的隶属度为：(x),在不混淆的情况下记为u(x) 用表达式可取为： 常用隶属度函数的表达形式总结如下， u(x)= (1)正态型函数 W1 x<a 在模糊分析中，隶属函数采用正态函数的一般 形式为u(x)=e().主要区别在f(x)函数的形 2十k1sinx _a1十a2 a2-a1 2 a1≤x<a2 式选取上，如文献[56]分别将f(x)取为各种不同 元 _a3十a2 u3k2sin 形式，其中一种常用的形式为： a3-a2 2 a2≤x<a3 u(x)=e-[(x-xo)/c] x>a3 (5) (9) 在正态分布中一般认为，如果给定了x的模糊 式中，u1,u2,u3,u4为常数，通常取值有1,1/2， 划分区间，在区间的中点x=x0,u(x0)=1,x0即 1/2,0等；k1,k2为常数；a,a2,a3为物理量的分段 为所属区间的平均值，另外各种物理量区间端点值 值.在应用中的具体表达形式因对象的不同而不 介于二种级别之间，对两种级别隶属度相同，令其近 同，如文献[3,9]岭型函数的形式就存在很大的 似为0.5，即e6/2=0.5.a1和m分别表 差异 示为该级别物理量的模糊区间边界值，所以 (4)三角模糊数隶属函数， c=(a1-a2)/1.66 (6) 三角模糊数隶属函数通常由该物理量的边界端 正态型的特点是区间端点值之间不交叉，通过 点值和中值决定，经研究大量文献[1,10]，本文总结R＝（ rij） m× n．在所考虑的因素 ui（ i＝12…m） 之间各因素在决策中所起的作用不同于是定义一 个权重 w′．w′称为 U 的因素重要度模糊子集可表 示为： w′＝（ w′1w′2…w′m） （3） 当模糊子集 w′和模糊矩阵 R 为已知时即可作模糊 变换进行综合评判： B＝w′●R＝（ b1b2…bn） （4） B＝（ b1b2…bn）成为决策评语集上 V 的等级模 糊子集．得到了模糊子集 B 后则可根据最大隶属 原则确定岩体的质量类别． 2 隶属函数类型及表达 确定隶属度的关键是首先确定隶属函数．根据 评判因素的性质有些因素的刻画指标在数学上是 连续的有些是离散的．对于前者可以采用连续函 数建立隶属度与指标数值之间的函数关系；对于后 者通过隶属度值表选取． 2∙1 连续隶属度函数 目前隶属函数的形式很多最为常用的隶属函 数形式有正态型、戒上型、戒下型、三角模糊数、降半 梯形、梯形和岭型等隶属函数类型．其中在岩体稳 定性分析中常用的正态型函数、三角模糊数函数、梯 形函数和岭型函数．设岩体稳定性分类决策评语分 为五个等级评判因素 ui 的表征指标值为 x其区 间端点值为 xixi＋1其对于决策评语中某一等级 的隶属度为 ui（ x）在不混淆的情况下记为 u（ x）． 常用隶属度函数的表达形式总结如下． （1） 正态型函数． 在模糊分析中隶属函数采用正态函数的一般 形式为 u（ x）＝e — f （ x）．主要区别在 f （ x）函数的形 式选取上如文献［5—6］分别将 f （ x）取为各种不同 形式．其中一种常用的形式为： u（ x）＝e —［（ x— x0 ）／c］ 2 （5） 在正态分布中一般认为如果给定了 x 的模糊 划分区间在区间的中点 x＝ x0u（ x0）＝1x0 即 为所属区间的平均值．另外各种物理量区间端点值 介于二种级别之间对两种级别隶属度相同令其近 似为0∙5即 e —［（ x1— x2 ）／2c］ 2 ＝0∙5．a1 和 a2 分别表 示为该级别物理量的模糊区间边界值所以 c＝（ a1— a2）／1∙66 （6） 正态型的特点是区间端点值之间不交叉通过 隶属度值进行衔接．同时在物理量的边界值处采用 正态戒上型和戒下型处理． （2） 梯形函数． 在模糊分析中梯形隶属函数的典型形式主要有 直边梯形函数［13］和似曲边梯形函数．直边梯形函 数的通常形式为： u（ x）＝ 0 x≤ a1x＞ a4 x— a1 a2— a1 a1＜ x≤ a2 1 a2＜ x≤ a3 x— a3 a4— a3 x≤ a4 （7） 式中ai 和 ai＋1分别表示某分段的物理量的分段边 界值．在某些情况下模糊隶属函数取梯形函数的 前半部分或后半部分就是升半梯形函数或降半梯 形函数［7］．似曲边梯形函数在图形上表现为函数升 降部分为曲线文献［8］给出了似曲边梯形函数的一 种形式： u（ x）＝ 2— 1 1＋k（ x— a1） 2 x≤ a1 1 a1＜ x＜ a2 2— 1 1＋k（ x— a1） 2 x≥ a2 （8） 式中a1 和 a2 为物理量的边界；k 为统计分析得出 的拟合常数它决定了曲线的变化缓急程度． （3） 岭型函数． 在模糊分析中岭型隶属函数是其中采用正弦函 数作为其核心．通过总结大量的实例和应用其通 用表达式可取为： u（ x）＝ u1 x＜ a1 u2＋k1sin π a2— a1 x— a1＋ a2 2 a1≤ x＜ a2 u3—k2sin π a3— a2 x— a3＋ a2 2 a2≤ x＜ a3 u4 x≥ a3 （9） 式中u1u2u3u4 为常数通常取值有11／2 1／20等；k1k2 为常数；a1a2a3 为物理量的分段 值．在应用中的具体表达形式因对象的不同而不 同如文献 ［39］ 岭型函数的形式就存在很大的 差异． （4） 三角模糊数隶属函数． 三角模糊数隶属函数通常由该物理量的边界端 点值和中值决定．经研究大量文献［110］本文总结 第7期 苏永华等： 岩体模糊分类中隶属函数的等效性 ·671·