§3初等函数连续性 从前面两节知道基本初等函数中:常函数,三角函数,反三角函数,以及有 理指数幂函数,都是定义 域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数在其定义域内 的连续性,以及初等函数在 其定义域内的连续性。 指数函数的连续性 在第一章中,我们已定义了实指数的乘幂,并证明了指数函数 y=a(0<a≠1)在R上是严格单调 的.下面先把关于有理指数幂的一个重要性质推广到一般指数幂,然后证明指数 函数的连续性。 定理4.10设a>0,a,6为任意实数,则有 证明不妨设a>1,则a2由第一章§3(6)式所定义,即 a=s甲|r为有理数 任给C>0,设为两个有理数,且”<a.8<A,使得 a“-E<a',af-E<a3 由a2的严格增递性,得a”<a“ 又有aa ,故得 ea'-a1 §3 初等函数连续性 从前面两节知道基本初等函数中：常函数，三角函数，反三角函数，以及有 理指数幂函数，都是定义 域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数在其定义域内 的连续性，以及初等函数在 其定义域内的连续性。 一 指数函数的连续性 在第一章中，我们已定义了实指数的乘幂，并证明了指数函数 在 上是严格单调 的.下面先把关于有理指数幂的一个重要性质推广到一般指数幂,然后证明指数 函数的连续性。 定理 4.10 设 为任意实数,则有 . 证明 不妨设 ，则 由第一章§3（6）式所定义，即 . 任给 ，设 为两个有理数，且 ，使得 . 由 的严格增递性，得 . 又有 ，故得