由任意性推出a“a2<a“+f 为证相反的不等式,设P为有理数,且P<a+A,使得a“+-g<a 再取有理数”使”<。<月以及p<+,则有 a<a 故得到 8< 由任意性推出a“<a“a2,所以有a"“a2=a (后一等式的证明留给读者.) 定理4.11指数函数(a>0)在R上是连续的 证明先设a>1.有第三章§2例4知 这表明a2在x=0连续,现任取0∈.由定理4.10得 t=x-xo 则当x列时有→0,从而有 lim a= lim a oa(x-o)=ao lima'=ao 这证明了a在任一点x处连续 b ()=b 10<a<1时,令a,则有b>1,而b 可看作函数b与=-x 的复合,所以此时a亦在 R上连续。利用指数函数a的连续性,以及第三章§5例4中已证明的2 由任意性推出 . 为证相反的不等式, 设 为有理数，且 ，使得 . 再取有理数 使 , 则有 故得到 . 由任意性推出 ,所以有 . (后一等式的证明留给读者.) 定理 4.11 指数函数 在 R 上是连续的. 证明 先设 .有第三章§2 例 4 知 这表明 在 连续.现任取 .由定理 4.10 得 . 令 则当 时有 ,从而有 . 这证明了 在任一点 处连续. 当 时,令 ,则有 ,而 可看作函数 与 的复合，所以此时 亦在 上连续。利用指数函数 的连续性，以及第三章§5 例 4 中已证明的