(10)假定a,b,c,d为实数并且a<b和c<d。令∫:(a,b)→(c,d)定义为 d-c f(a) b-a 证明f是一个双射。(这里(a,b)表示集合{x∈R:a<x<b},常被称为一个开区 (11)找出开区间(0,1)和R之间的一个一一对应。 (12)考察函数f:N×N→N定义为 f(m, n)=n+ (m+m)(m+m+1) (a)令m1,m1,m2,m2为自然数。证明如果m1+m1<m2+n,则f(m1,n1)< (b)证明对任意y∈N,都存在唯一的x∈N使得 r(x+1) ≤y< (x+1)(x+2) (c)证明∫是双射。 习题 1.4 (1)判断下列关系R是否为()自反的;(i)对称的;和(i)传递的。 (a)R为集合{a,b,c}上的关系R={(a,b),(b,a),(a,a)} (b)R为Z上的关系,定义为aRb当且仅当a>b (c)令X为一非空集,A是X的非空子集的集合,R是A上的关系定义为URV 当且仅当U∩V≠0。 (d)R是R上的关系,使得aPb当且仅当ab≥0。 (e)f是R上的关系,使得aPb当且仅当|a-b≤2。 (2)令T={0,1,2,3,,12}。定义T上的一个关系~如下:对任意a,b∈T,a~b 只要下列条件之一成立 (a)a,b都是偶数 (b)a,b都是大于2的素数(10) 假定 a, b, c, d 为实数并且 a < b 和 c < d。令 f : (a, b) → (c, d) 定义为 f(x) = d − c b − a (x − a) + c。 证明 f 是一个双射。（这里 (a, b) 表示集合 {x ∈ R : a < x < b}，常被称为一个开区 间。） (11) 找出开区间 (0, 1) 和 R 之间的一个一一对应。 (12) 考察函数 f : N × N → N 定义为 f(m, n) = n + (m + n)(m + n + 1) 2 。 (a) 令 m1, n1, m2, n2 为自然数。证明如果 m1 + n1 < m2 + n2，则 f(m1, n1) < f(m2, n2)。 (b) 证明对任意 y ∈ N，都存在唯一的 x ∈ N 使得 x(x + 1) 2 ≤ y < (x + 1)(x + 2) 2 。 (c) 证明 f 是双射。 习题 1.4. (1) 判断下列关系 R 是否为 (i) 自反的；(ii) 对称的；和 (iii) 传递的。 (a) R 为集合 {a, b, c} 上的关系 R = {(a, b),(b, a),(a, a)}。 (b) R 为 Z 上的关系，定义为 aRb 当且仅当 a > b。 (c) 令 X 为一非空集，A 是 X 的非空子集的集合，R 是 A 上的关系定义为 URV 当且仅当 U ∩ V ̸= ∅。 (d) R 是 R 上的关系，使得 aRb 当且仅当 ab ≥ 0。 (e) R 是 R 上的关系，使得 aRb 当且仅当 | a − b |≤ 2。 (2) 令 T = {0, 1, 2, 3, . . . , 12}。定义 T 上的一个关系 ∼ 如下：对任意 a，b ∈ T，a ∼ b 只要下列条件之一成立： (a) a，b 都是偶数。 (b) a，b 都是大于 2 的素数。 4