(d)f满射当且仅当对任何x∈X都存在y∈Y使得∫(x)=y (e)f满射当且仅当存在y∈Y使得对任意x∈X都有f(x)=y (f)∫满射当且仅当∫的值域等于Y。 (5)令∫和g为从R到R的函数。判断下列命题的对错并给出理由。 (a){x∈R|f(x)=0}∩{x∈R|g(x)=0}={x∈R|f2(x)+g2(x)=0}。 (b){x∈R|f(x)=0}={x∈R|f2(x)=0} (c)如果f和g都是双射,则∫+g也是双射。(这里函数f+g:R→R的定义是 (f+g)(x)=f(x)+g(x)) (6)(a)证明对任何函数f,g:R→R如果fog是单射,则g是单射 (b)找出函数f,g:R→R使得fog是单射,但∫不是单射。 (7)给定一个函数f:X→Y,定义两个新的幂集间的函数如下 F:P(X)→P(Y)和G:P(Y)→P(X) F(A)={f(a):a∈A}和G(B)={a∈X:f(a)∈B} 其中ACX并且BCY。判断下列命题是否正确并给出证明或反例 (a)如果f是单射,则F也是单射 (b)如果∫是满射,则G是满射。 (8)令a,d∈Z,q∈R并且n∈N (a)找出等差数列a,a+d,a+2d,……,a+nd的求和公式B(m)并用归纳法验证 (b)找出等比数列a,a,a2,…,an的求和公式C(n)并用归纳法验证 下面的练习都是集合论中基数练习的翻版。建议大家把它们“翻译”成基数的语言, 读出它们告诉我们的有关集合大小的信息。 9)找出N和Z之间的一个一一对应(d) f 满射当且仅当对任何 x ∈ X 都存在 y ∈ Y 使得 f(x) = y。 (e) f 满射当且仅当存在 y ∈ Y 使得对任意 x ∈ X 都有 f(x) = y。 (f) f 满射当且仅当 f 的值域等于 Y 。 (5) 令 f 和 g 为从 R 到 R 的函数。判断下列命题的对错并给出理由。 (a) {x ∈ R | f(x) = 0} ∩ {x ∈ R | g(x) = 0} = {x ∈ R | f 2 (x) + g 2 (x) = 0}。 (b) {x ∈ R | f(x) = 0} = {x ∈ R | f 2 (x) = 0}。 (c) 如果 f 和 g 都是双射，则 f + g 也是双射。（这里函数 f + g : R → R 的定义是 (f + g)(x) = f(x) + g(x)。） (6) (a) 证明对任何函数 f, g : R → R 如果 f ◦ g 是单射，则 g 是单射。 (b) 找出函数 f, g : R → R 使得 f ◦ g 是单射，但 f 不是单射。 (7) 给定一个函数 f : X → Y ，定义两个新的幂集间的函数如下： F : P(X) → P(Y ) 和 G : P(Y ) → P(X) F(A) = {f(a) : a ∈ A} 和 G(B) = {a ∈ X : f(a) ∈ B} 其中 A ⊆ X 并且 B ⊆ Y 。判断下列命题是否正确并给出证明或反例。 (a) 如果 f 是单射，则 F 也是单射。 (b) 如果 f 是满射，则 G 是满射。 (8) 令 a, d ∈ Z，q ∈ R 并且 n ∈ N。 (a) 找出等差数列 a, a + d, a + 2d, · · · , a + nd 的求和公式 B(n) 并用归纳法验证。 (b) 找出等比数列 a, aq, aq2 , · · · , aqn 的求和公式 C(n) 并用归纳法验证。 下面的练习都是集合论中基数练习的翻版。建议大家把它们“翻译”成基数的语言， 读出它们告诉我们的有关集合大小的信息。 (9) 找出 N 和 Z 之间的一个一一对应。 3