(a)(自反性)a≡a(modn)。 (b)(对称性)如果a≡b(modn),则b≡a(modn) (c)(传递性)如果a≡b(modn)且b≡c(modn),则a≡c(modn) (3)判断下列命题是否对所有集合A,B,C和D成立,并给出理由 (a)A×(B∪C)=(A×B)U(A×C) (b)(A×B)∩(C×D)=(AnC)×(B∩D) (c)(A×B)U(C×D)=(AUC)×(BUD) 习题1.3 (1)对下列集合A和B找出所有从A到B的函数。 (a)A={x}andB={0,1} (b)A=f,y and B=(2]o (c)A={x,y}andB={0,1} (d)A={x,y}andB={0,1,2} 如果集合A和B分别含有n和m个元素,有多少个从A到B的函数? (2)令∫和g为从{1,2,3}到{2,3,4}的函数分别定义为∫(x)=-x+5和g(x)= x3+6x2-12x+11。证明f=g (3)令f:R→R和g:Z→Z为 g(n) 证明f为双射;g为单射但不是满射。 (4)考察函数∫:X→Y。判断下列命题的对错。 (a)f是满射当且仅当任何一个Y里的元素都是某个X里元素的像。 (b)f是满射当且仅当任何一个X里的元素都有某个Y里元素为它的像。 (c)f满射当且仅当对任何y∈Y都存在x∈X使得f(x)=y(a) （自反性）a ≡ a (mod n)。 (b) （对称性）如果 a ≡ b (mod n)，则 b ≡ a (mod n)。 (c) （传递性）如果 a ≡ b (mod n) 且 b ≡ c (mod n)，则 a ≡ c (mod n)。 (3) 判断下列命题是否对所有集合 A, B, C 和 D 成立，并给出理由。 (a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)。 (b) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)。 (c) (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B ∪ D)。 习题 1.3. (1) 对下列集合 A 和 B 找出所有从 A 到 B 的函数。 (a) A = {x} and B = {0, 1}。 (b) A = {x, y} and B = {2}。 (c) A = {x, y} and B = {0, 1}。 (d) A = {x, y} and B = {0, 1, 2}。 如果集合 A 和 B 分别含有 n 和 m 个元素，有多少个从 A 到 B 的函数? (2) 令 f 和 g 为从 {1, 2, 3} 到 {2, 3, 4} 的函数分别定义为 f(x) = −x + 5 和 g(x) = −x 3 + 6x 2 − 12x + 11。证明 f = g。 (3) 令 f : R → R 和 g : Z → Z 为 f(x) = 4x − 1, g(n) = 4n − 1。 证明 f 为双射；g 为单射但不是满射。 (4) 考察函数 f : X → Y 。判断下列命题的对错。 (a) f 是满射当且仅当任何一个 Y 里的元素都是某个 X 里元素的像。 (b) f 是满射当且仅当任何一个 X 里的元素都有某个 Y 里元素为它的像。 (c) f 满射当且仅当对任何 y ∈ Y 都存在 x ∈ X 使得 f(x) = y。 2