习题1.1 (1)(a)列出集合S={a,b,{c,d},47}的所有子集 (b)回答下列问题:c∈S?{c,a}∈S?0∈S?S∈S? (c)回答更多问题:{c,a}cS?{c,}cS?{b,47}cS?{c,d,47}cS?0sS? SCS? (2)写出下列集合的元素 (a){1,2,3,{4,5},{6,{7,8}} (b){x∈N:x2=3或x2=4} (c){x∈N:x2=3并且x2=4}。 (3)找出三个性质P(x)使得集合{x∈R:P(x)}为{1};找出三个性质Q(x)使得集合 {x∈z:Q(x)}=0。 (4)在有可能的情况下找出 (a)两个无穷集合A和B使得A∩B={1}并且AUB=Z。 (b)两个集合C和D使得CUD={t,h,,c,}并且C∩D={t,h,i,n} 注意:如果你认为不可能的话,请给出理由。 习题1.2 (1)验证下列关于整除关系的命题,其中所有字母都代表整数 (a)如果a|b,则对任何c都有a|be; (b)如果a|b并且b|c,则a|c; (c)如果a|b并且a|c,则对任何s和t都有a|(sb+tc); (d)如果a|b并且b|a,则a=±b; (e)如果a|b并且a,b>0,则a≤b; (f)如果m≠0则(a|b当且仅当ma|mb (2)假定a,b,c,n∈Z且n>0。证明同余关系的下列性质习题 1.1. (1) (a) 列出集合 S = {a, b, {c, d}, 47} 的所有子集。 (b) 回答下列问题：c ∈ S？{c, d} ∈ S？∅ ∈ S？S ∈ S？ (c) 回答更多问题：{c, d} ⊂ S？{{c, d}} ⊂ S？{b, 47} ⊂ S？{c, d, 47} ⊂ S？∅ ⊆ S？ S ⊆ S？ (2) 写出下列集合的元素： (a) {1, 2, 3, {4, 5}, {6, {7, 8}}}。 (b) {x ∈ N : x 2 = 3 或 x 2 = 4}。 (c) {x ∈ N : x 2 = 3 并且 x 2 = 4}。 (3) 找出三个性质 P(x) 使得集合 {x ∈ R : P(x)} 为 {1}；找出三个性质 Q(x) 使得集合 {x ∈ Z : Q(x)} = ∅。 (4) 在有可能的情况下找出： (a) 两个无穷集合 A 和 B 使得 A ∩ B = {1} 并且 A ∪ B = Z。 (b) 两个集合 C 和 D 使得 C ∪ D = {t, h, i, c, k} 并且 C ∩ D = {t, h, i, n}。 注意：如果你认为不可能的话，请给出理由。 习题 1.2. (1) 验证下列关于整除关系的命题，其中所有字母都代表整数。 (a) 如果 a | b，则对任何 c 都有 a | bc； (b) 如果 a | b 并且 b | c，则 a | c； (c) 如果 a | b 并且 a | c，则对任何 s 和 t 都有 a | (sb + tc)； (d) 如果 a | b 并且 b | a，则 a = ±b； (e) 如果 a | b 并且 a, b > 0，则 a ≤ b； (f) 如果 m ̸= 0 则 (a | b 当且仅当 ma | mb)。 (2) 假定 a, b, c, n ∈ Z 且 n > 0。证明同余关系的下列性质： 1